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Analyses et interprétations

La notion husserlienne de multiplicité : au-delà de Cantor et Riemann

Carlo Ierna
Traduction de Claudio Majolino

Résumés

En raison du rôle changeant qu’il joue dans les différents ouvrages de Husserl, le concept de Mannigfaltigkeit afait l’objet de nombreuses interprétations. La présence de ce terme a notamment induit en erreur plusieurs commentateurs, qui ont cru en déterminer l’origine dans les années de Halle, à l’époque où Husserl, ami et collègue de Cantor, rédigeait la Philosophie de l’arithmétique. Mais force est de constater qu’à cette époque Husserl s’était déjà ouvertement éloigné de la définition cantorienne de Mannigfaltigkeit en s’approchant plutôt de Riemann, comme le montrent les nombreuses études et leçons qui lui sont consacrées. La Mannigfaltigkeitslehre de Husserl semble donc plus proche de la topologie que de la théorie des ensembles de Cantor. Ainsi, dans les Prolégomènes, Husserl introduit l’idée d’une Mannigfaltigkeitslehre pure en tant qu’entreprise méta-théorique dont le but est d’étudier les relations entre théories, à savoir la manière par laquelle une théorie est dérivée ou fondée à partir d’une autre. Dès lors, lorsque Husserl affirme que le meilleur exemple d’une telle théorie pure des multiplicités se trouve dans les mathématiques, cela risque donc de prêter à confusion. En effet, la théorie pure des théories ne saurait être simplement identifiée aux mathématiques qui relèvent de la topologie, mais considérée en tant que mathesis universalis. Bien qu’une telle position ne fût sans doute pas entièrement claire en 1900-01, Husserl ne tardera pas à relier explicitement théorie des multiplicités et mathesis universalis.En ce sens, la mathesis universalis, théorie des théories en général, est une discipline formelle, apriori et analytique qui a pour but l’analyse des catégories sémantiques suprêmes et des catégories d’objets qui leur sont corrélées. Dans cet article j’essayerai de comprendre le développement de la notion de Mannigfaltigkeit au sein de la pensée de Husserl (de ses débuts mathématiques jusqu’au  rôle central qu’elle jouera plus tard) à partir de l’arrière-fond et du contexte mathématique du développement de la philosophie de Husserl lui-même.

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Notes de la rédaction

Article traduit de l’anglais par Claudio Majolino

Texte intégral

  • 1  Puisque dans le débat francophone autour de la notion husserlienne de Mannigfaltigkeit on a pris l (...)

1Dans cet article, je voudrais étudier l’usage que fait Husserl de concepts tels que « multiplicité » et « théorie des multiplicités » (Mannigfaltigkeit et Mannigfaltigkeitslehre)1 dans la première période de sa philosophie. Afin d’atteindre un tel but, je vais d’abord commencer par traiter de l’arrière-plan mathématique et du contexte historique de son œuvre.

1. Le « background » de Husserl

  • 2  Karl Schuhmann (éd.), Husserliana Dokumente I : Husserl-Chronik. Denk- und Lebensweg Edmund Husser (...)
  • 3  Edmund Husserl, Contributions à la théorie du calcul des variations, éd. J. Vauthier, Kingston (On (...)

2Husserl commence ses études en 1876, alors qu’il n’a même pas dix-huit ans, à Leipzig, où il suit des cours de mathématique, de physique, d’astronomie et de philosophie pendant trois semestres2. En 1878, il poursuit ses études en mathématique et en philosophie à l’université de Berlin, où il étudie avec Weierstrass, considéré comme le père de l’analyse moderne, ainsi que Kronecker. À partir du semestre d’été 1881, Husserl étudie à Vienne avec un ancien étudiant de Weierstrass, Königsberger, et obtient son doctorat en janvier 1883 avec une étude technique intitulée Contributions au calcul des variations3. Après une courte période pendant laquelle il travaille en tant qu’assistant de Weierstrass (semestre d’été 1883) et suite à une année de service militaire volontaire, Husserl retourne à Vienne en 1884. Il commence à étudier la philosophie avec Brentano, qui aura sur lui une grande influence.

  • 4  HC 16-17. Le manuscrit porte la signature K I 50/47. Il s’agit d’ailleurs du tout premier manuscri (...)
  • 5  Edmund Husserl, Husserliana Dokumente III: Briefwechsel (dorénavant BW), éd. K. Schuhmann et E. Sc (...)

3Sur les conseils de Brentano, à l’automne 1886, Husserl part pour Halle afin d’obtenir son habilitation sous la direction d’un ancien étudiant de Brentano : Carl Stumpf. Brentano écrit à Stumpf que Husserl travaille « sur un traité autour du problème du continu (…). Il voudrait s’en servir pour obtenir une habilitation en philosophie ». Il existe bien un manuscrit intitulé « Continuus homogènes et non-homogènes », daté de juin 1886, qui correspond globalement à cette description4. Les pages qui accompagnent le manuscrit contiennent des extraits et des remarques critiques à propos de la théorie de l’espace de Riemann et Helmholtz, autant de sujets dont Husserl traite également dans ses premiers cours à Halle. Mais déjà en décembre 1886, il semble avoir abandonné un tel projet, et écrit à Brentano qu’il se consacre dorénavant à des « recherches logiques autour des concepts de base et des principes de l’arithmétique et de l’analyse supérieure »5.

  • 6  Le premier chapitre de cet ouvrage a été publié avec le titre Edmund Husserl, Über den Begriff der (...)
  • 7  Cf. Edmund Husserl, Philosophie der Arithmetik (Psychologische und logische Untersuchungen), Halle (...)

4Husserl obtient son habilitation au bout d’un an, avec une thèse intitulée Sur le concept de nombre. Analyses psychologiques6. Dans ce travail, se trouvent réunies pour la première fois les deux influences majeures de cette époque : Husserl y combine les connaissances et l’adresse mathématiques obtenues chez Weierstrass et Königsberger avec la méthode (proto-phénoménologique) de la psychologie descriptive et de l’analyse psychologique qu’il avait apprises chez Brentano et Stumpf. Dans les années suivantes, Husserl retravaille sa thèse d’habilitation, qui donnera lieu à sa première publication majeure : la Philosophie de l’arithmétique7. En même temps, il commence à enseigner à Halle, notamment sur les théories de l’espace de Riemann et Helmholtz.

  • 8  Cf. Jamie Tappenden, « The Riemannian Background to Frege’s Philosophy », in : J. Ferreiros et J. (...)
  • 9  Guillermo Rosado Haddock, « Husserl’s Philosophy of Mathematics: its Origin and Relevance », in : (...)

5Si l’on considère le développement de sa carrière, il est intéressant de remarquer que Husserl a eu l’opportunité de travailler côte à côte avec quelques-uns des mathématiciens les plus influents de son époque : Weierstrass et Kronecker à Berlin, Cantor – qui était aussi un ancien étudiant de Weierstrass — à Halle, et Hilbert et Klein à Göttingen. Il a ainsi assisté et participé à un certain nombre de débats majeurs autour des fondements des mathématiques et de la géométrie de son époque. Dans ces débats, on peut grossièrement distinguer deux approches en philosophie des mathématiques dans l’Allemagne du XIXe siècle. Nous avons, d’un côté, l’approche de Weierstrass et de son école à Berlin, et de l’autre, celle de Riemann à Göttingen. La première s’appuyait sur des preuves exactes, précises et rigoureuses,  procédant pas à pas, par l’analyse et l’algèbre des séries entières ; l’autre était plutôt centrée sur la géométrie et l’intuition, et elle s’autorisait l’usage de conjectures audacieuses8. Que l’on pense, par exemple, à la fameuse hypothèse de Riemann, qui résulte d’un article présenté en 1859 lorsqu’il devint membre correspondant de l’Académie de Berlin. Cette étude, intitulée Le nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée, est frappante non seulement par son style mais aussi par ce qu’elle déclare explicitement : son objet de recherche, aux yeux de Riemann, ne réclame nullement que toutes les positions majeures avancées soient démontrées. Bien que Husserl ait été un étudiant de Weiertsrass et, en grande partie, un critique de Riemann, il a été également influencé par les deux9.

  • 10  Cf. Ierna « Beginnings (Part 1) », Op. cit., p. 39, pp. 51 suiv.
  • 11  Gottlob Frege, Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff (...)
  • 12  Leopold Kronecker, « Über den Zahlbegriff », in : Crelle’s Journal für die reine und angewandte Ma (...)
  • 13  Hermann von Helmholtz, « Zählen und Messen erkenntnis-theoretisch betrachtet », in : Philosophisch (...)
  • 14  Richard Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen ?, Braunschweig, Friedrich Vieweg & Sohn, 188 (...)

6Dans la Philosophie de l’arithmétique, Husserl a essayé de poursuivre en partie le projet d’arithmétisation de l’analyse — qui consiste à réduire les constructions de nombres compliqués aux nombres et aux opérations de base — soutenu par l’école de Berlin de Weierstrass et Kroneker, en fournissant un fondement philosophique et psychologique du concept de nombre10. Un tel projet n’avait rien d’exceptionnel pour l’époque. Dans les années 1880, avant la soi-disant crise des fondements, la plupart des mathématiciens cités s’étaient consacrés à des études programmatiques sur le concept de nombre. Que l’on pense par exemple aux Fondements de l’arithmétique de Frege, dont le sous-titre était : Une recherche logico-mathématique autour du concept de nombre, parus en 188411, ou au célèbre essai de Kronecker : Sur le concept de nombre, de 188712. Il faudrait évoquer également l’article de Helmholtz : Compter et mesurer, de 188713, ainsi que l’étude, parue en 1888, Que sont et que doivent être les nombres ? due à Dedekind14, ami et collègue de Riemann, qui avaient obtenu leur doctorat et leur habilitation respectifs à la même époque, sous la direction de Gauss.

  • 15  Pour une étude plus détaillée de la « philosophie des mathématiques brentanienne » cf. Carlo Ierna (...)

7Husserl se jette ainsi dans un débat alors en plein essor, où mathématiciens et logiciens discutent de la nature et de la signification exacte du concept de nombre ainsi que de son rôle fondationnel en mathématique. Husserl peut en outre compter sur l’efficacité des concepts brentaniens introduits dans ses leçons de logique, ainsi que sur Brentano lui-même, avec qui il a souvent discuté des questions mathématiques qui lui tenaient à cœur.  Sans oublier que, à cette époque, d’autres brentaniens illustres s’étaient consacrés à des études de philosophie des mathématiques : la thèse d’habilitation de Stumpf portait Sur les principes fondamentaux des mathématiques ; Ch. Von Ehrenfels avait écrit l’article Sur la philosophie des mathématiques, paru en 1891, la même année que la Philosophie de l’arithmétique de Husserl15.

  • 16  Edmund Husserl, Logische Untersuchungen. Erster Theil : Prolegomena zur Reinen Logik (dorénavant P (...)
  • 17  Edmund Husserl, Logische Untersuchungen. Zweiter Theil : Untersuchungen zur Phänomenologie und The (...)
  • 18  Edmund Husserl, « Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen Philosophie », in : (...)
  • 19  Edmund Husserl, « Formale und Transzendentale Logik. Versuch einer Kritik der Logischen Vernunft » (...)

8Dans les années 1880, Husserl passe donc, d’abord, des mathématiques à la philosophie des mathématiques, puis, pendant les années 1890, il en vient à se concentrer de plus en plus sur la logique et la théorie de la connaissance, ce qui le conduira à certains de ses ouvrages les plus célèbres, les Prolégomènes à une logique pure16et les Recherches logiques17de 1900/01. Après avoir obtenu une chaire à l’université de Göttingen, il développe progressivement sa phénoménologie transcendantale. Et bien que ses concepts de « multiplicité » et de « théorie des multiplicités » jouent sans aucun doute un rôle important encore dans ses derniers ouvrages, nous allons nous concentrer ici notamment sur ses travaux pré-transcendantaux. Et, d’une certaine manière, c’est bien ce que Husserl lui-même suggère : dans ses Idées directrices de 191318, lorsqu’il traite des multiplicités, il se réfère rétrospectivement aux Prolégomènes ; et dans son ouvrage de 1929 Logique formelle et transcendantale, il cite à nouveau et renvoie à plusieurs reprises au texte des Prolégomènes en disant, au sujet de la théorie des multiplicités telle qu’elle avait été traitée à l’époque, qu’il « ne saurait l’améliorer »19. Rappelons également que, dans sa thèse d’habilitation Sur le concept de nombre, Husserl n’utilise pas le terme de « multiplicité » dans son sens technique, mathématique ; il en va de même dans la Philosophie de l’arithmétique, où le terme n’apparaît dans son sens technique qu’à la toute fin de l’ouvrage. En revanche, ce terme réapparaît dans les Prolégomènes, mais cette fois-ci d’une manière résolument thématique et philosophique. Nous allons revenir sur un tel usage plus tard. Nous allons pour l’instant préciser l’origine du terme dans le contexte mathématique et celui des sources d’inspiration possibles de Husserl.

2. L’idée de multiplicité

  • 20  Alors que Riemann semble citer l’article de Gauss dans sa version originale latine, Husserl renvoi (...)

9L’idée de multiplicité, en allemand Mannigfaltigkeit (traduit également par « variété »), apparaît pour la première fois dans les théories mathématiques allemandes du XIXe siècle. Plus précisément, cette notion semble avoir été introduite pour la première fois par Gauss et rendue célèbre plus tard par son élève Riemann. En effet, dans son étude révolutionnaire Sur les hypothèses qui sont à la base de la géométrie, Riemann mentionne explicitement les travaux de Gauss sur les restes biquadratiques à titre de source d’inspiration. On remarquera également que l’ouvrage de Gauss est cité par Husserl dans l’Avant-propos à la Philosophie de l’arithmétique en tant que source d’inspiration principale de sa « nouvelle théorie », déclaration confirmée par Husserl dix ans plus tard dans une lettre à Natorp20.

10L’article de Gauss est important, autant pour Riemann que pour Husserl, pour une double raison. D’un côté, il fournit une introduction systématique aux nombres imaginaires et complexes en tant qu’élargissement des nombres réels. Gauss affirme que les nombres complexes contiennent les nombres réels à titre de cas particuliers lorsque la partie imaginaire est nulle. D’un autre côté — peut-être plus important encore —, Gauss dote ces nombres « impossibles » d’une caractérisation visuelle, géométrique. Il propose de considérer un ensemble de coordonnées cartésiennes dans lequel l’axe y contiendrait les nombres imaginaires, et l’axe x  les nombres réels, le plan complexe qui en résulte étant finalement défini dans les termes d’une multiplicité à deux dimensions. À ma connaissance, il s’agit de la première occurrence technique du terme « multiplicité », pris dans le sens qui va nous intéresser ici. Riemann — qui dans ses recherches posera les fondements de la géométrie différentielle et de la topologie — portera une telle notion bien plus loin.

  • 21  Georg Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre - Ein mathematisch-philosophisc (...)
  • 22  Georg Cantor, « Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten. Nr. 3 », in : Werke, p. 150, ains (...)

11Or, il nous faut être très vigilants à l’égard de cette notion de « multiplicité », qu’il ne faudra surtout pas confondre avec celle de Cantor, auteur lui aussi d’une « théorie des multiplicités »21. Cantor utilise d’habitude le mot « multiplicité » (Mannigfaltigkeit)en tant que simple synonyme des mots « ensemble » (Menge) ou « collection » (Inbegriff)22, ce qui lui permet de poser les fondements de la théorie des ensembles. D’ailleurs, à partir de la moitié des années 1890, Cantor commence à appeler son travail « théorie des ensembles » (Mengenlehre) plutôt que « théorie des multiplicités » (Mannigfaltigkeitslehre).

  • 23  Bien que l’interprétation de Claire Ortiz Hill repose sur une excellente connaissance des textes h (...)

12Nombre d’auteurs ont cru devoir situer l’usage husserlien du terme « multiplicité » dans le contexte de la période de Halle, lorsqu’il était ami et collègue de Cantor23. Il me semble, cependant, que les similitudes entre Husserl et Cantor sont dues moins à des influences réciproques qu’à une source commune, à savoir la réflexion de Weierstrass et de Bolzano, d’où ils tirent, l’un comme l’autre, le terme de « collection » (Inbegriff). En outre, comme nous l’avons déjà rappelé, la première rencontre de Husserl avec les théories mathématiques des multiplicités est antérieure à la période de Halle.

13De plus, Husserl utilise souvent le terme « multiplicité » dans un sens non technique, pour indiquer une « multitude », un ensemble de plusieurs choses. Mais, d’un point de vue technique, une multiplicité n’est pas une multitude. Une telle confusion, entre sens technique et sens non technique du terme « multiplicité » chez Husserl, a finalement induit en erreur plusieurs interprètes. Confusion qui, à vrai dire, est due en partie au fait que Husserl lui-même continue d’utiliser la terminologie technique des mathématiques alors qu’il en change lentement le sens en fonction du développement de ses théories philosophiques, les transformant ainsi en termes philosophiques. La notion de « multiplicité » est l’un de ces cas délicats.

14Je suis persuadé que le type de multiplicité que Husserl discute dans les Prolégomènes se laisse mieux comprendre comme une modification de la notion mathématique de multiplicité qu’il avait apprise à Berlin lorsqu’il était étudiant, plutôt qu’à partir de la théorie des ensembles de Cantor. Il est sans doute vrai que Husserl a adapté le concept à ses besoins philosophiques et gnoséologiques, le portant ainsi bien au-delà de Cantor et Riemann, au-delà des mathématiques et de la géométrie : dans le domaine de la logique et de l’ontologie formelle. Husserl est d’ailleurs bien conscient des différences entre Cantor et Riemann, puisque, à l’époque de la Philosophie de l’arithmétique, il écrit que :

  • 24  Cet extrait est issu du manuscrit « Mengen und Mannigfaltigkeiten », rédigé par Husserl autour de (...)

« par multiplicité, Cantor entend une simple collection d’éléments qui sont unis d’une manière quelconque (…). Cependant, cette conception ne coïncide pas avec celle de Riemann et utilisée ailleurs dans la théorie de la géométrie, selon laquelle une multiplicité est une collection qui consiste non seulement en des éléments simplement unifiés, mais aussi organisés ; de plus, en des éléments qui ne sont pas simplement unifiés mais connectés d’une manière continue. »24

15Et dix ans plus tard, dans les Prolégomènes

  • 25  Cf. Husserl, Prolegomena, Hua XVIII, Op. cit., p. 156, n. 2 [tr. fr. cit. p. 173].

« les mathématiques ‘pures’ ou ‘formelles’, comme je les appelle, enferment l’ensemble de l’arithmétique pure et la théorie des multiplicités, non la géométrie. À celle-ci correspond en mathématique pure la théorie euclidienne des multiplicités à trois dimensions, qui est un concept générique d’espace, à ne pas confondre avec l’espace lui-même. »25

  • 26  Il ne me sera pas possible ici d’étudier en détail les rapports entre la conception cantorienne et (...)

16Une multiplicité est donc non seulement une simple collection d’objets, non seulement un ensemble, mais un ensemble ordonné, défini par les relations valides pour le domaine plus que par les objets eux-mêmes26. La géométrie, pour Husserl, est irrémédiablement déterminée par la nature actuelle, empirique de l’espace et de la perception spatiale, et elle est donc exclue du domaine des sciences purement formelles, a priori. Le passage de l’espace empirique aux multiplicités euclidiennes ou non-euclidiennes n’est pas une généralisation mais une formalisation. Il ne s’agit plus de quelque chose de perceptible mais d’une représentation symbolique. C’est pour cette raison que, selon Husserl, les multiplicités 3-dimensionnelles des mathématiques pures sont les représentations formelles de l’espace, et cela bien que d’autres voies puissent nous amener à considérer d’autres multiplicités n-dimensionnelles — tel, par exemple, l’espace-temps 4-dimensionnel — comme étant des représentations de l’espace naturel meilleures ou plus utiles. Toutefois même si on a affaire à un cas véritable de formalisation, la mathématique des multiplicités n-dimensionnelles ne porte pas nécessairement sur l’espace. Comme le dit Hilbert : « Il faut être tout le temps capable de dire, au lieu de points, lignes  droites et plans : tables, chaises et verres à bière ».

3. Le rôle des multiplicités dans la logique de Husserl

17À la fin du XIXe siècle, un nouveau type de logique était en train de se frayer un chemin : la logique mathématique ou symbolique, que parfois l’on appelait également « logistique ». Celle-ci s’opposait à l’ancienne logique philosophique qui s’intéressait moins aux instruments techniques-mécaniques que les mathématiques pouvaient offrir à la logique qu’aux justifications sous-jacentes à leurs applications possibles ainsi qu’à leur signification. L’ancienne logique philosophique s’intéressait ainsi principalement à la formation des concepts, à la relation entre sujet et prédicat dans les jugements catégoriques et existentiels, ainsi qu’à la logique en tant qu’art du jugement correct. En raison de sa double formation, mathématique et philosophique-brentanienne, Husserl s’est donc trouvé sur la ligne de crête d’une double révolution, en logique et en mathématique, et il a été profondément impliqué d’un double point de vue.

  • 27  Comme cela apparaît clairement dans la Préface aux Recherches logiques ainsi que dans la Cinquième (...)

18L’une des questions fondamentales pour la position philosophique du premier Husserl concerne la relation entre la subjectivité du connaître et l’objectivité de la connaissance27. Dans la Philosophie de l’arithmétique, une telle question n’avait pas encore atteint une articulation suffisamment claire. Cela apparaît clairement dans la distinction à demi-tons entre des analyses « psychologiques » et des analyses « logiques » — division qui rythme la division en deux parties du livre : une partie psychologique portant sur le concept propre de nombre, et une partie logique axée plutôt sur le concept impropre (ou symbolique) de nombre. Les limites d’une telle position ont poussé Husserl à passer de la philosophie des mathématiques à celle de la logique, voie qui le portera à partir des années 1890 aux Recherches logiques. En grande partie, les Prolégomènes ne sont en effet qu’une élaboration des cours de logique de 1896. Pour Husserl, le projet de clarification de la relation entre la subjectivité du connaître et l’objectivité de la connaissance relève de la philosophie de la logique, comprise dans le sens large d’une théorie de la connaissance généralisée, une théorie des théories, une science de la science, une mathesis universalis.

19Husserl consacre un chapitre central des Prolégomènes aux différentes tâches et niveaux de la logique : les catégories pures de la signification et les catégories pures des objets ainsi que les lois de leurs combinaisons ; les lois et les théories qui sont fondées dans telles catégories ; la théorie des formes possibles de théories ou théorie pure des multiplicités.

  • 28  David Woodruff Smith, « Mathematical Form in the World », in : Philosophia Mathematica,10, 3 (2002 (...)

20Pour simplifier, on peut distinguer trois niveaux dans la théorie logique de Husserl : 1) un premier niveau qui s’occupe des relations entre les parties d’une proposition, 2) un deuxième qui porte sur les relations entre propositions, 3) un troisième qui concerne les relations entre théories dans leur intégralité. Cette triple approche peut être rapprochée de la distinction moderne entre syntaxe, théorie de la démonstration et théorie des modèles28. Si l’on peut dire du premier niveau — où l’on traite de l’unité structurelle d’une proposition — qu’il s’agit d’une analyse de la structure intra-propositionnelle, le deuxième niveau — où l’on traite de l’unité structurelle entre propositions, et donc de l’unité d’une théorie — relève plutôt d’une analyse de la structure inter-propositionnelle. À ce niveau, l’on trouve déjà la logique de premier ordre, la syllogistique et la théorie des ensembles, ce qui révèle que la théorie husserlienne des multiplicités relève d’un ordre plus élevé que celle que Cantor aurait pu élaborer. Husserl affirme clairement qu’on trouve, à chaque niveau, des corrélats ontologiques de telles unités.

  • 29  Husserl Prolegomena, § 70, Hua XVIII, op. cit., pp. 249-250 [tr. fr. cit. pp. 274-276].

« Le corrélat objectif du concept de théorie possible, déterminée seulement quant à sa forme, est le concept d’un domaine possible de la connaissance en général, qui doit être régi par une théorie d’une semblable forme. Or, un tel domaine, le mathématicien (dans sa sphère) le nomme une multiplicité. »29

21Et encore plus clairement, dans un autre texte de 1901 :

  • 30  Cet extrait est issu du texte intitulé « Das Gebiet eines Axiomensystems/Axiomensystem—Operationss (...)

« Chaque objet considéré d’un point de vue formel n’est autre que le simple nœud d’un réseau de relations, c’est-à-dire dans la forme relationnelle où les objets peuvent être situés. [...] Si nous définissons une multiplicité, nous définissons un domaine d’éléments par le biais de leurs relations. »30

22Au niveau supérieur, l’on voit la corrélation entre la pure théorie des multiplicités et ces multiplicités mêmes. Ici, les objets ne sont pas des objets géométriques ou arithmétiques, tels des points ou des nombres, mais des théories tout entières. Cette perspective peut être mise en parallèle avec la manière par laquelle Riemann, en généralisant les travaux de Gauss sur les espaces courbes, aboutit aux multiplicités ayant un nombre arbitraire de dimension et dont la géométrie euclidienne 3-dimensionnelle n’est qu’un cas particulier d’une théorie plus générale. Au fond, cela revient à traiter une construction mathématique d’ordre supérieur comme un objet mathématique à part entière : une théorie de l’espace en tant que modèle d’espace peut à son tour être considérée comme un objet mathématique, susceptible d’être décrit, classé etc. d’un point de vue supérieur. C’est d’ailleurs Husserl lui-même qui a proposé un tel parallèle :

  • 31  Husserl Prolegomena, § 70, Hua XVIII, op. cit., pp. 251-252 [tr. fr. cit. pp. 277-279].

« L’idée la plus générale d’une théorie des multiplicités est d’être une science qui donne une forme déterminée aux types essentiels de théories (ou de domaines) possibles, et qui recherche leurs relations mutuelles, régies par des lois. […] C’est en étudiant le mode selon lequel on passe d’un genre de multiplicité spatiale à un autre par variation du degré du courbure, que le philosophe ayant appris les rudiments de la théorie de Riemann-Helmholtz peut se faire une certaine idée de la manière dont des formes pures de théories, de types nettement distincts, sont reliées entre elles par le biais d’une loi. »31

23Ici, nous pouvons mettre en relation l’idée d’un élargissement d’une généralisation d’une théorie avec la tentative husserlienne pour rendre compte du problème du traitement des nombres imaginaires en mathématique — ce qui nous ramène au premier point que j’avais évoqué plus haut, en parlant de l’influence de Gauss. Dans son traité sur les restes biquadratiques, qui avait inspiré les idées fondamentales de la nouvelle théorie husserlienne présentée dans la Philosophie de l’arithmétique, Gauss écrit :

  • 32  Carl Friedrich Gauß, « Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda », in : Werke, vol. (...)

« À l’origine, en procédant du concept des nombres entiers absolus, elle [l’arithmétique] a progressivement élargi son domaine ; aux nombres entiers ont été ajoutées les fractions, aux nombres rationnels les irrationnels, aux nombres positifs les négatifs, aux réels, les imaginaires. »32

24Husserl décrit ce même élargissement « progressif » dans une lettre à Stumpf de février 1890 :

  • 33  BW vol. I, op. cit., p. 161 [tr. fr. par J.-P. Fabre et V. Gérard, « Lettre à Stumpf », in Annales (...)

« Le système des signes de l’arithmétique universelle est structuré d’une manière progressive, comparable à un système de cercles concentriques. Le premier pas (le cercle le plus interne) est occupé par les signes 1, 2=1+1, 3=2+1 etc. ; le suivant par les signes de fractions etc. »33

25Les cercles internes fondent la validité des cercles supérieurs dans une abstraction de plus en plus grande. Husserl cite précisément ce problème dans les Prolégomènes en relation avec la théorie des multiplicités :

  • 34  Prolegomena, § 70, Hua XVIII, op. cit., p. 251 [tr. fr. cit. p. 277].

« Qu’il y ait ici un chef-d’œuvre du merveilleux art méthodique de la mathématique, c’est ce que nous montre non seulement un regard sur les théories des multiplicités issues de généralisations de la théorie et de la forme des théories géométriques, mais même déjà sur le premier et le plus simple cas de ce genre, l’extension du domaine des nombres réels (c’est-à-dire de la forme de théorie correspondante, de la ‘théorie formelle des nombres réels’) au domaine formel, deux fois plus étendu, des nombres complexes ordinaires. En fait, c’est dans cette conception que se trouve la clef de la seule solution possible de ce problème, qui n’a pas encore été élucidé : comment, par exemple, dans le domaine des nombres, des concepts impossibles (irréels [wesenslose]) peuvent-ils être traités méthodiquement comme des concepts réels ? Toutefois, ce n’est pas ici le lieu de discuter plus précisément de cette question. »34

  • 35  Elisabeth Schuhmann et Karl Schuhmann, « Husserls Manuskripte zu seinem Göttinger Doppelvortrag vo (...)
  • 36  Cf. également Carlo Ierna, « Der Durchgang durch das Unmögliche. An Unpublished Manuscript from th (...)

26Husserl dit qu’il « discutera de cela d’une manière plus approfondie » dans ce que l’on a pris l’habitude d’appeler la Double conférence de Göttingen, tenue lors du séminaire mathématique de Hilbert le 25 novembre et le 10 décembre 190135. Cette conférence s’appuie notamment sur les anciens manuscrits de l’époque de Halle et sur beaucoup de points elle est en accord avec les dernières rédactions de la Philosophie de l’arithmétique. Husserl y pose la question fondamentale suivante : comment peut-on justifier l’application d’opérations définies pour un domaine sur un autre domaine qui conduit à des formes de nombres qui n’ont pas de signification véritable dans le domaine d’origine ? Plus important encore, dans quels cas pouvons-nous accepter ces résultats et les considérer comme valides dans le domaine d’origine après être passés par l’ « imaginaire » ? Dans la Double conférence, Husserl discute de l’élargissement progressif du champ de l’arithmétique à partir des nombres naturels jusqu’aux nombres réels et aborde la question des nombres imaginaires, qui semblent tomber en dehors du champ des « nombres » mêmes. La réponse de Husserl s’appuie sur son concept  de définitude d’un système d’axiomes ou d’opérations. Si le système fondamental d’origine est défini, alors un élargissement à l’imaginaire par rapport au système de départ est justifié, si et seulement si le système élargi est également défini, et si le domaine d’origine est encore défini en tant que cas particulier du domaine élargi. En d’autres termes, si les deux systèmes sont également « définis », alors le fait de calculer avec des concepts imaginaires ne conduit plus à aucune contradiction et il est dès lors eo ipso justifié36.

27Husserl annonce ainsi au début de sa conférence que :

  • 37  DV, p. 91.

« La mathématique, conformément à son idée la plus élevée, est la théorie des théories, la science la plus générale des systèmes déductifs possibles en général. »37

28Mais Husserl fait de plus en plus abstraction des spécificités mathématiques et il se concentre maintenant sur le cas général de la validité des énoncés qui portent sur des multiplicités, c’est-à-dire des domaines d’objets ; plus précisément, il s’intéresse à ces cas où les énoncés qui portent sur les objets tombant en dehors du domaine d’origine sont néanmoins valides.

  • 38  DV, p. 108.

« Il est possible de lire à la surface d’une assertion qu’elle a un sens – et on peut le prouver à tout moment – pour les objets du domaine restreint ; ce qui veut dire que si elle est vraie, elle ne présuppose la validité d’aucun concept (et donc l’être d’aucun objet) dont la validité dépendrait justement d’axiomes supplémentaires. »38

29La justification de la vérité et de l’existence d’énoncés et d’objets dans le domaine plus étendu ne doit pas présupposer (d’une manière circulaire) la validité des axiomes ou des hypothèses qui définissent les domaines élargis (à savoir : ce qui tombe à l’extérieur du domaine d’origine). Un « passage par l’imaginaire » (durchgang durch das Unmögliche) ne saurait être justifié qu’en vérifiant les résultats sans le recours aux hypothèses supplémentaires.

  • 39  DV, p. 111.

« L’application d’un système plus large afin de trouver des propositions du système plus étroit ne peut être autorisée que si l’on dispose d’une caractéristique par laquelle nous savons que toute proposition qui a un sens dans le domaine étroit est aussi décidée en celui-ci, c'est-à-dire : elle doit être soit l’une de ses conséquences, soit l’une de ses contradictions. »39

30Il en découle que, dans la Double conférence, Husserl considère non seulement les théories qui contiennent d’autres théories en tant que cas spéciaux qui peuvent être élargis en rajoutant des axiomes ; il étudie également la possibilité de la commensurabilité ou de l’incommensurabilité de théories et de leurs domaines d’objets correspondants. Cela veut dire : emprunter la voie qui mène au niveau suivant, à savoir le troisième niveau d’une théorie des formes de théories. Du niveau intra-théorique, nous sommes ainsi passés au niveau inter-théorique, à la recherche de la forme d’une théorie qui requiert la mise en place d’une théorie de toutes les théories. L’on remarquera ainsi qu’à chaque niveau Husserl associe un double questionnement : visant le côté de la signification mais aussi le côté de l’objet. Le corrélat objectuel d’une théorie des théories s’appelle justement « multiplicité ».

  • 40  Prolegomena, § 70, Hua XVIII, Op. cit., p. 249 [tr. fr. cit. p. 274]. Cette conception husserlienn (...)

31La théorie pure des multiplicités de Husserl est donc une entreprise métathéorique qui étudie les relations entre théories, à savoir la manière dont on peut dériver ou fonder une théorie à partir d’une autre — tâche ultime d’une « science théorique des théories en général. »40

  • 41  Cf. par exemple Edmund Husserl, Husserliana XX/1: Logische Untersuchungen (Ergänzungsband: Erster (...)

32Par conséquent, la théorie pure des théories n’est pas simplement mathématique : elle est une mathesis universalis41.Bien qu’une telle conception ne soit pas encore clairement formulée en  1900/01, Husserl mettra explicitement en rapport les notions de théorie pure des multiplicités et de mathesis universalis dans ses travaux successifs. En ce sens, la mathesis universalis est une théorie formelle, a priori et analytique des théories en général. Il s’agit d’une analyse des catégories de signification suprêmes et de leurs catégories objectuelles corrélatives.

4. Remarques conclusives

33Dans mon exposé, je me suis concentré uniquement sur la philosophie du premier Husserl. J’ai notamment abordé les Prolégomènes et les Recherches logiques uniquement dans le contexte de leur développement historique, qui, d’un point de vue chronologique, se situe à mi-chemin entre l’habilitation Sur le concept de nombre et les Idées directrices. En raison de leur histoire mouvementée — des changements de position importants subis par Husserl autour de 1890, du projet avorté d’un second volume de la Philosophie de l’arithmétique, des différentes influences subies autour de 1894 qui poussent Husserl à réorienter et élargir sa théorie en direction d’une logique non psychologique et d’une mathesis universalis —, les Recherches logiques semblent à première vue se diviser en deux parties foncièrement disparates, dont la deuxième contient à son tour six recherches hétérogènes. Mais, à mes yeux, c’est justement leur histoire tourmentée qui tient ensemble les deux parties des Recherches logiques, car Husserl a entrepris ses recherches logiques dans les années 1890 en essayant d’affronter une poignée de problèmes particulièrement coriaces. Husserl s’est efforcé d’intégrer les points de vue mathématique et psychologique sur la philosophie des mathématiques, un effort qui commence à l’époque de la thèse d’habilitation et qui se poursuit jusqu’à la Double conférence. En essayant d’articuler ces deux points de vue, Husserl a analysé les relations entre les niveaux inférieurs (fondateurs) et supérieurs (fondés) de la connaissance, en essayant de montrer comment on peut passer des uns aux autres. Déjà à l’époque de la Philosophie de l’arithmétique, il a essayé de rendre compte des actes, des objets et des relations d’ordre supérieur — tentative qui ne se réalisera pleinement qu’à l’époque des Recherches logiques, et même plus tard. La théorie des multiplicités joue ici un rôle central. Husserl se sert de cette notion déjà à l’époque de ses études mathématiques et continue à l’utiliser tout au long de sa carrière, des recherches logiques des années 1890 jusqu’à Logique formelle et transcendantale, ouvrage publié presque quarante ans plus tard, en 1927. Afin de mieux comprendre le développement de la position husserlienne, je crois qu’il est à la fois intéressant et révélateur de regarder de près ces concepts centraux qui forment le noyau constant de sa réflexion — à l’instar du concept de multiplicité.

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Bibliographie

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Notes

1  Puisque dans le débat francophone autour de la notion husserlienne de Mannigfaltigkeit on a pris l’habitude de parler de « multiplicité » plutôt que de « variété » — en suivant en cela le choix des traducteurs des Articles sur la logique (Jacques English), des Recherches logiques (Hubert Elie, Arion Kelkel et René Schérer) et de Logique formelle et logique transcendantale (Suzanne Bachelard) — dans les pages qui suivent je me conformerai à un tel usage [N.d.T.].

2  Karl Schuhmann (éd.), Husserliana Dokumente I : Husserl-Chronik. Denk- und Lebensweg Edmund Husserls (dorénavant HC), Den Haag, Nijhoff, 1977, p. 4.

3  Edmund Husserl, Contributions à la théorie du calcul des variations, éd. J. Vauthier, Kingston (Ontario), Queen’s University, 1983. À l’heure actuelle il n’existe pas d’édition critique de ce texte, disponible seulement en traduction française (ou italienne).

4  HC 16-17. Le manuscrit porte la signature K I 50/47. Il s’agit d’ailleurs du tout premier manuscrit de recherche daté par Husserl. On peut trouver une reproduction de la première page du manuscrit (avec le titre et la date) dans Hans Rainer Sepp (éd.), Edmund Husserl und die phänomenologische Bewegung (Zeugnisse in Text und Bild), Freiburg/München, Alber, 1988, p. 157.

5  Edmund Husserl, Husserliana Dokumente III: Briefwechsel (dorénavant BW), éd. K. Schuhmann et E. Schuhmann, Dordrecht, Kluwer, 1994, Vol. I, p. 5.

6  Le premier chapitre de cet ouvrage a été publié avec le titre Edmund Husserl, Über den Begriff der Zahl (Psychologische Analysen), Halle a.d. Saale, Heynemann’sche Buchdruckerei, 1887. L’édition critique de ce texte se trouve dans : Edmund Husserl, Husserliana XII : Philosophie der Arithmetik. Mit Ergänzenden Texten (1890-1901), éd. Lothar Eley (dorénavant Hua XII), Den Haag, Nijhoff, 1970, pp. 289-339  [Sur le concept de nombre,tr. fr. par J. English, in : Edmund Husserl La philosophie de l’arithmétique, Paris, P.U.F., 1972,  pp. 355-384].

7  Cf. Edmund Husserl, Philosophie der Arithmetik (Psychologische und logische Untersuchungen), Halle a.d. Saale, C.E.M. Pfeffer (Robert Stricker), 1891. Pour l’édition critique cf. Hua XII, pp. 5-283 [tr. fr. PA, pp. 3-350]. Sur la relation entre le texte de la thèse d’habilitation Sur le concept de nombre et celui de la Philosophie de l’arithmétique cf. Carlo Ierna, « The Beginnings of Husserl’s Philosophy. Part 1: From Über den Begriff der Zahl to Philosophie der Arithmetik », in : The New Yearbook for Phenomenology and Phenomenological Philosophy,V (2005), pp. 1-54 ; Carlo Ierna, « The Beginnings of Husserl’s Philosophy. Part 2 : Mathematical and Philosophical Background », in : The New Yearbook for Phenomenology and Phenomenological Philosophy VI (2006), pp. 33-82.

8  Cf. Jamie Tappenden, « The Riemannian Background to Frege’s Philosophy », in : J. Ferreiros et J. J. Gray (eds.), The Architecture of Modern Mathematics,Oxford, Oxford University Press, 2006, p. 115.

9  Guillermo Rosado Haddock, « Husserl’s Philosophy of Mathematics: its Origin and Relevance », in : Husserl Studies, 22 (2006), pp. 193-222.

10  Cf. Ierna « Beginnings (Part 1) », Op. cit., p. 39, pp. 51 suiv.

11  Gottlob Frege, Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl,Breslau, Koebner, 1884 [tr. fr. par C. Imbert, Les fondements de l’arithmétique, Paris, Seuil, 1969].

12  Leopold Kronecker, « Über den Zahlbegriff », in : Crelle’s Journal für die reine und angewandte Mathematik 101 (1887).

13  Hermann von Helmholtz, « Zählen und Messen erkenntnis-theoretisch betrachtet », in : Philosophische Aufsätze, Eduard Zeller zu seinem 50 jährigen Dr. Jubiläum gewidmet (1887).

14  Richard Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen ?, Braunschweig, Friedrich Vieweg & Sohn, 1888.

15  Pour une étude plus détaillée de la « philosophie des mathématiques brentanienne » cf. Carlo Ierna, « Brentano and Mathematics », in : Revue Roumaine de Philosophie, 55, 1 (2011), pp. 149–167, et notamment les pp. 162 suiv.

16  Edmund Husserl, Logische Untersuchungen. Erster Theil : Prolegomena zur Reinen Logik (dorénavant Prolegomena), Halle, Niemeyer, 1900 ; pour l’édition critique cf. Edmund Husserl, Husserliana XVIII : Logische Untersuchungen (Erster Band : Prolegomena zur reinen Logik), éd. par E. Holenstein, Den Haag, Nijhoff, 1975 [tr. fr. par H. Elie, A. Kelkel, R. Schérer, Recherches logiques, t. I: Prolégomènes à la logique pure, Paris, P.U.F., 1959].

17  Edmund Husserl, Logische Untersuchungen. Zweiter Theil : Untersuchungen zur Phänomenologie und Theorie der Erkenntnis, Halle, Niemeyer, 1901 ; pour l’édition critique de cet ouvrage cf. Edmund Husserl, Husserliana XIX/1 et 2 : Logische Untersuchungen (Zweiter Band, Erster Teil), edited by U. Panzer, Den Haag, Nijhoff / Kluwer, 1984 [tr. fr. par H. Elie, A. Kelkel, R. Schérer, Recherches logiques, t. II et III: Recherches pour la phénoménologie et la théorie de la connaissance, Paris, P.U.F., 1961].

18  Edmund Husserl, « Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen Philosophie », in : Jahrbuch für Philosophie und phänomenologische Forschung I (1913), p. 136 ; pour l’édition critique cf. Edmund Husserl, Husserliana III/1 : Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen Philosophie, éd. par K. Schuhmann, Den Haag, Nijhoff, 1976, p. 153 [tr. fr. par P. Ricœur, Idées directrices pour une phénoménologie, Paris, Gallimard, 1950, pp. 260-1].

19  Edmund Husserl, « Formale und Transzendentale Logik. Versuch einer Kritik der Logischen Vernunft », in : Jahrbuch für Philosophie und phänomenologische Forschung X (1929), p. 79 ; pour l’édition critique cf. Edmund Husserl, Husserliana XVII : Formale und transzendentale Logik. Versuch einer Kritik der logischen Vernunft. Mit ergänzenden Texten, éd. par P. Janssen, Dordrecht, Nijhoff, 1974 [tr. fr. par S. Bachelard, Logique formelle et logique transcendantale. Essai d’une critique de la raison logique, Paris, P.U.F., 1965].

20  Alors que Riemann semble citer l’article de Gauss dans sa version originale latine, Husserl renvoie plutôt à la présentation en allemand faite par l’auteur dans son « Anzeige der Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio Secunda », parue dans le Göttingsche gelehrte Anzeigen en 1831. En ce qui concerne les parties qui nous intéressent, où Gauss qualifie les complexes de Mannigfaltigkeiten à deux dimensions, il s’agit d’une simple traduction abrégée du texte latin.

21  Georg Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre - Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen,Leipzig, Teubner, 1883.

22  Georg Cantor, « Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten. Nr. 3 », in : Werke, p. 150, ainsi que « Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten. Nr. 5 », in : Werke,p. 204.

23  Bien que l’interprétation de Claire Ortiz Hill repose sur une excellente connaissance des textes husserliens ainsi que de leurs sources principales, je ne suis pas entièrement convaincu par la thèse selon laquelle le développement de la théorie husserlienne des multiplicités à cette époque aurait subi l’influence  déterminante de Cantor. Cf. par exemple : Claire Ortiz Hill, « Tackling Three of Frege’s Problems: Edmund Husserl on Sets and Manifolds » (Axiomathes, 13, 2002), où l’on peut lire que « terminologically, it is absolutely necessary to remember that Husserl’s theories about sets and manifolds developed during the fifteen years that he spent in the company of Georg Cantor, the creator of set theory and the author of the Mannigfaltigkeitslehre » (p. 80). Dans une autre étude (Claire Ortiz Hill « Did Georg Cantor Influence Edmund Husserl? », in : Claire Ortiz Hill et Guillermo Rosado Haddock, Husserl or Frege?, Chicago and La Salle, Open Court, 2000), l’auteure reconnaît cependant que « much of the initial intellectual kinship between Husserl and Cantor can be explained by the mighty influence the great mathematician Karl Weierstrass exercised on both of them » (p. 139).

24  Cet extrait est issu du manuscrit « Mengen und Mannigfaltigkeiten », rédigé par Husserl autour de 1891/92. Il se trouve dans  Edmund Husserl, Husserliana XXI : Studien zur Arithmetik und Geometrie, éd. par I. Strohmeyer, Den Haag, Nijhoff, 1983, pp. 95 suiv.

25  Cf. Husserl, Prolegomena, Hua XVIII, Op. cit., p. 156, n. 2 [tr. fr. cit. p. 173].

26  Il ne me sera pas possible ici d’étudier en détail les rapports entre la conception cantorienne et celle riemanienne de Mannigfaltigkeit. Qu’il suffise pour l’instant d’avoir indiqué celle que Husserl considérait comme leur différence principale.

27  Comme cela apparaît clairement dans la Préface aux Recherches logiques ainsi que dans la Cinquième Recherche. Cf. Jitendra Nath Mohanty, « The Development of Husserl’s thought », in B. Smith, D. Woodrow Smith (eds.), The Cambridge Companion to Husserl, Cambridge, C.U.P., 1995, pp. 55 suiv. ; Dallas Willard, « Knowledge », in : The Cambridge Companion to Husserl, op. cit., p. 150 ; Jitendra Nath Mohanty, The Philosophy of Edmund Husserl: A Historical Development, New Haven & London, Yale University Press, 2008, pp. 173 suiv.

28  David Woodruff Smith, « Mathematical Form in the World », in : Philosophia Mathematica,10, 3 (2002), p. 108.

29  Husserl Prolegomena, § 70, Hua XVIII, op. cit., pp. 249-250 [tr. fr. cit. pp. 274-276].

30  Cet extrait est issu du texte intitulé « Das Gebiet eines Axiomensystems/Axiomensystem—Operationssystem » de 1901, cf.  Hua XII, p. 475, p. 479 [tr. fr. par J. English, « Le domaine d’un système d’axiomes—système d’axiomes—système d’opérations », in : Edmund Husserl, Articles sur la logique (1890-1913), Paris, P.U.F. 1975, pp. 535, 539]. 

31  Husserl Prolegomena, § 70, Hua XVIII, op. cit., pp. 251-252 [tr. fr. cit. pp. 277-279].

32  Carl Friedrich Gauß, « Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda », in : Werke, vol. II (Höhere Arithmetik), p. 175.

33  BW vol. I, op. cit., p. 161 [tr. fr. par J.-P. Fabre et V. Gérard, « Lettre à Stumpf », in Annales de phénoménologie, 1 (2002), p. 174].

34  Prolegomena, § 70, Hua XVIII, op. cit., p. 251 [tr. fr. cit. p. 277].

35  Elisabeth Schuhmann et Karl Schuhmann, « Husserls Manuskripte zu seinem Göttinger Doppelvortrag von 1901 » (dorénavant DV), in : Husserl Studies 17, 2 (2001), pp. 87-123.

36  Cf. également Carlo Ierna, « Der Durchgang durch das Unmögliche. An Unpublished Manuscript from the Husserl-Archives », in : Husserl Studies, 27 (2011), p. 221.

37  DV, p. 91.

38  DV, p. 108.

39  DV, p. 111.

40  Prolegomena, § 70, Hua XVIII, Op. cit., p. 249 [tr. fr. cit. p. 274]. Cette conception husserlienne de la Mannigfaltigkeitslehre a été souvent rapprochée de la théorie des modèles, bien qu’avec un certain nombre de précautions. Cf. notamment Gilbert T. Null et Roger A. Simons, « Manifolds, Concepts and Moment Abstracta », in : B. Smith (ed.), Parts and Moments. Studies in Logic and Formal Ontology, Munich, Philosophia, 1982, p. 448 ; Guillermo Rosado Haddock, « Husserl’s Relevance for the Philosophy and Foundations of Mathematics », in : Axiomathes, 1-3 (1997), p. 132 ; David W. Smith, « Mathematical Form », op. cit., p. 111; Peter Simons, « Meaning and Language », in : The Cambridge Companion to Husserl, op. cit., p. 133 ; Yvon Gauthier, « Husserl and the theory of multiplicities: “Mannigfaltigkeitslehre” », in : R. Feist (éd.), Husserl and the Sciences, Ottawa, University of Ottawa Press, 2004, pp. 121–128 ; David Woodruff Smith, Husserl, Abingdon, Routledge, 2007, pp. 106-108, p. 122.

41  Cf. par exemple Edmund Husserl, Husserliana XX/1: Logische Untersuchungen (Ergänzungsband: Erster Teil), éd. par U. Melle, Dordrecht, Kluwer, 2002, p. 285, ainsi que Logique formelle et logique transcendantale, op. cit.

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Pour citer cet article

Référence électronique

Carlo Ierna, « La notion husserlienne de multiplicité : au-delà de Cantor et Riemann », Methodos [En ligne], 12 | 2012, mis en ligne le 10 avril 2012, consulté le 25 octobre 2014. URL : http://methodos.revues.org/2943 ; DOI : 10.4000/methodos.2943

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Auteur

Carlo Ierna

Université d’Utrecht

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Droits d’auteur

Tous droits réservés

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