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Analyses et interprétations

Conscience et réflexivité dans la philosophie mathématique de Cavaillès

Pierre Cassou-Noguès

Résumés

L’épistémologie de Cavaillès est connue pour une critique abrupte des notions de conscience et de sujet. Cette critique ne vise pas à éliminer de la philosophie la notion de conscience mais seulement à la destituer de sa place de notion primitive. Dès lors, il s’agit de rendre compte de la conscience. Nous soutenons que la conscience est définie et constituée à partir de la réflexivité du devenir mathématique. Pour établir ce point, nous discutons de quelques textes. Nous sommes amené à distinguer deux problématiques, celle des thèses de 1938, qui restent marquées par la philosophie de Brunschvicg, et celle des écrits posthumes.

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Notes de l’auteur

Cet article est une version remaniée d’un exposé donné au séminaire « Philosophie et mathématiques » de l’E.N.S. en mars 2000.

Texte intégral

1Dans le paysage philosophique contemporain, Cavaillès est souvent invoqué pour sa critique abrupte mais radicale de la notion de conscience. Cavaillès, qui, si l’on met de côté ses premiers articles de philosophie religieuse, écrit entre 1936 et 1943, ferait contre la phénoménologie retour à Spinoza mais, par son opposition aux philosophies de la conscience, annoncerait le structuralisme. Canguilhem, le premier, caractérise l’héritage de Cavaillès :

« Spinoziste, Cavaillès a entrepris d’élaborer une philosophie sans sujet. »

  • 1  Canguilhem, Vie et mort de Jean Cavaillès, repris dans Cavaillès, Œuvres complètes de philosophie (...)

«Ce texte auquel Ch. Ehresmann et moi avons donné son titre Sur la logique et la théorie de la science […] se termine par quelques pages qui ont paru à beaucoup, et d’abord à moi-même, longtemps énigmatiques. Nous pouvons comprendre aujourd’hui que l’énigme valait comme annonciation. Cavaillès a assigné, vingt ans à l’avance, la tâche que la philosophie est en train de se reconnaître aujourd’hui : substituer au primat de la conscience vécue ou réfléchie le primat du concept, du système ou de la structure. »1

2Sans aucun doute, l’épistémologie de Cavaillès, en particulier dans l’ouvrage posthume, Sur la logique et la théorie de la science, s’organise autour d’une critique de la notion de conscience. On peut prêter à Cavaillès, en gros, l’argument suivant : le devenir mathématique est nécessaire en ce que le progrès est décidé par les problèmes posés et les méthodes disponibles à une époque antérieure; les raisons du devenir sont intérieures aux champs en devenir; il est donc inutile de chercher à fonder la mathématique sur une analyse des actes de la conscience; il suffit de suivre le devenir, d’isoler les problèmes et les méthodes qui en dirigent la progression et, par là, déterminent la constitution d’une mathématique; le domaine fondamental de l’épistémologie n’est pas le champ de conscience mais l’expérience mathématique, les systèmes d’opérations mises en œuvre dans le devenir mathématique. Ainsi, l’épistémologie pourrait faire l’économie de la notion de conscience. Pourtant, je ne crois pas que la notion de conscience soit véritablement éliminée. En réalité, Cavaillès opère une inversion par rapport aux philosophies de la conscience et, plutôt que de rendre compte des objets de la science à partir de la conscience, tente de rendre compte de la conscience à partir du mouvement de la science. Le problème est double. En effet, refuser le primat de la conscience, c’est, d’une part, refuser la position d’une conscience constituante mais, d’autre part, renoncer à considérer la conscience comme une donnée primitive. Il faut donc constituer et, avant cela, définir la conscience à partir du devenir autonome des mathématiques.  

3Je soutiendrai que l’épistémologie de Cavaillès n’est pas à proprement parler sans sujet et qu’il ne s’agit pas d’éliminer la conscience mais d’en rendre compte : la conscience est définie et constituée à partir de ce que j’appellerai la réflexivité du devenir mathématique.

4Je ferai deux parties. La première portera sur les thèses de 1938, c’est-à-dire Remarques sur la formation de la théorie abstraite des ensembles, Méthode axiomatique et formalisme. La seconde partie portera sur les textes posthumes, « Transfini et continu », Sur la logique et la théorie de la science. Dans ses thèses, Cavaillès adopte une problématique de la conscience dont il hérite de Brunschvicg mais qui est nécessaire pour la compréhension de la critique ultérieure.

  • 2  G. Ferrières, Jean Cavaillès, un philosophe dans la guerre, 2e édition, Seuil, Paris, 1982, p. 119 (...)
  • 3  À la Société française de Philosophie, Cavaillès déclare que son problème directeur « est, très mo (...)
  • 4  « Sur les problèmes futurs des mathématiques », Éd. J. Gabay, Sceaux, 1990.

5Lors de sa soutenance de thèse, Cavaillès reconnaissait avoir « pris son modèle et son inspiration dans les Étapes [de la philosophie mathématique] »2. Bien que les références explicites soient rares, l’épistémologie que développe Cavaillès dans ses thèses est étroitement affiliée au relativisme critique de Brunschvicg. En particulier, comme Brunschvicg, Cavaillès cherche à adapter le système kantien à la science contemporaine3. Pour cela, Cavaillès s’appuie sur les analyses de Hilbert. Dès la conférence sur les problèmes futurs des mathématiques, de 1900, Hilbert insiste sur le rôle du signe dans le travail mathématique4. En géométrie, on utilise des figures, comme le triangle et le cercle. En algèbre et en logique, on utilise des formules composées de lettres alphabétiques et de symboles opératoires, comme «+» ou «=>». On écrit une formule, celle-ci manifeste des relations avec d’autres formules et des possibilités de transformation, par lesquelles on peut se laisser guider. Ainsi, le travail mathématique passe par le dessin, de formules ou de figures. Évidemment, par la notion de construction dans l’intuition, Kant a tenté de décrire ce recours au dessin en géométrie et de l’étendre au cas de l’algèbre. Néanmoins, les constructions dans l’intuition, telles que les pense Kant, comportent une ambiguïté. En effet, dans les constructions géométriques, le divers de la synthèse joue, à la fois, le rôle des traits, des ronds, des signes dans le dessin sur lequel s’appuie le mathématicien et le rôle des droites, des cercles, des idéalités que le mathématicien soumet à des opérations. Cavaillès est donc conduit à dissocier deux plans, le plan des signes et le plan des idéalités. L’expérience mathématique comporte deux plans, qui proviennent comme d’une diplopie de l’expérience dans le système kantien. Chacun de ces deux plans donne lieu à des « gestes », correspondant à des constructions dans l’intuition. J’examinerai brièvement ces « gestes » qui ont lieu dans le plan des signes et dans le plan des idéalités.

6Je fais remarquer que Cavaillès utilise le mot « geste » pour désigner aussi bien la construction sur les signes que la construction sur les idéalités. J’appellerai « combinatoire » le geste sur les signes et « opératoire » celui sur les idéalités.

7Pour mettre en place ce geste que j’appelle combinatoire, Cavaillès fait entrer en discussion Kant, Hilbert et Brunschvicg. Cette discussion se poursuit tout au long de la thèse principale. Je ne peux en retenir que la substance.

  • 5  « Sur les problèmes futurs des mathématiques », op. cit., p. 7-8.

8Au congrès des mathématiciens de 1900, Hilbert constate que, dans les formules algébriques et logiques, les signes sont employés selon certaines règles, convenues, et demande que l’on cherche les règles qui valent pour les figures géométriques5. En algèbre et en logique, ce sont les règles convenues pour l’emploi des signes qui déterminent les combinaisons pourvues de sens (par exemple : «a+b=c» est correct mais non «a++b=c») et les manipulations susceptibles de tirer une combinaison vraie d’une autre (par exemple : on peut échanger les termes d’une addition, si «a+b=c», alors «b+a=c»). Dans les systèmes formels, les règles d’emploi sont explicites. Ce sont les règles de formation, qui indiquent comment composer une formule à partir de signes donnés, et les règles de transformation, qui indiquent comment déduire une formule d’une autre. Dans la mathématique naïve, intuitive, les règles d’emploi restent implicites. On les suit par habitude et sans en avoir conscience. Or on retrouve de telles règles d’emploi, implicites, dans les figures géométriques. Dans une figure, ce que l’on appelle un point est une marque, une petite croix, ce que l’on appelle une droite est un trait et ce que l’on appelle un cercle est un rond. Un enfant réussirait à faire passer plusieurs traits par deux marques données, si elles sont suffisamment éloignées, et plusieurs traits par une marque donnée dont aucun ne coupe un trait donné. Mais ce dessin, que ferait un enfant, n’est pas une figure géométrique. Le dessin de l’enfant n’est une figure géométrique que s’il est soumis à des règles. C’est en vertu de règles implicites et qui deviennent naturelles, dès que l’on apprend la géométrie à l’école, que le mathématicien ne fait passer qu’un seul trait par deux marques données et un seul trait par une marque donnée sans intersection avec un trait donné. Ainsi, dans la figure, on distingue des éléments, marques, traits et ronds (ou arcs de rond), soumis à des règles d’emploi, comme les signes algébriques dans la formule. On peut considérer que les éléments de la figure sont des signes, au même titre que les signes algébriques, et que la figure est analogue à la formule, puisqu’elle est composée de signes et selon des règles.

  • 6  Cavaillès, Méthode axiomatique et formalisme (noté dorénavant M.A.F.), 2e édition, Hermann, Paris, (...)
  • 7  Je m’appuie sur une analyse de G.-G. Granger (dans Pensée formelle et sciences de l’homme, Aubier, (...)

9Le travail mathématique passe par un geste sur des signes soumis à des règles d’emploi. Or ces règles d’emploi inscrivent les signes dans un «espace combinatoire», « une sorte d’espace abstrait avec autant de dimensions qu’il y a de degrés de liberté dans l’opération concrète et imprévisible de la combinaison »6. En algèbre, alors que, pour un enfant, tout signe peut se combiner avec tout autre et dans n’importe quelle direction, les règles, que suit le mathématicien dans la combinaison, déterminent des directions privilégiées et des relations d’ordre entre les signes. Le signe «+» doit être complété à gauche et à droite. Il sera l’origine d’un sous-espace à deux dimensions. Le signe «5» peut être complété vers le haut, par un chiffre ou une lettre («52»), et à gauche et à droite, par un chiffre ou un signe d’opération. Il est l’origine d’un sous-espace plus complexe à trois dimensions. De la même façon, chaque signe est l’origine d’un sous-espace de proximité, d’une sorte de voisinage, au sein duquel peut se poursuivre la combinaison. En liant ces voisinages par connexité, on donne à l’ensemble des signes une structure partiellement ordonnée et possédant des dimensions multiples. Sans doute, les figures géométriques exigeraient des relations entre les signes et que ces relations définissent une structure. L’espace combinatoire est l’ensemble des signes munis de la structure corrélative des règles d’emploi7.

10Le geste que j’appelle combinatoire porte sur les signes d’un espace combinatoire. Le geste combinatoire est une synthèse sur des signes dans un espace combinatoire : décrire une figure, lire une formule. Comme la construction dans l’intuition, le geste combinatoire est une synthèse réglée sur un divers. Cependant, les règles de la synthèse ne renvoient pas à un concept de l’entendement. Elles ne sont que les règles d’emploi des signes, fixées de façon implicite ou explicite. Le divers n’est pas situé dans un espace donné dans la sensibilité humaine mais dans un espace constitué et corrélatif des règles d’emploi.

  • 8  Pour suivre les analyses de Cavaillès, il faut penser les propositions, les démonstrations, les ac (...)

11J’examine maintenant le geste opératoire. Ici, Cavaillès utilise le mot « geste » dans un sens plus métaphorique pour désigner l’acte sur les idéalités, l’acte de pensée. Cet acte est également, dans le vocabulaire de Cavaillès, une « opération » ou un « procédé ». La difficulté est de comprendre les actes de pensée, en mathématiques, sous un seul concept et, plus précisément, comme synthèses réglées. On est, je crois, obligé de distinguer deux niveaux. À un premier niveau, on sait qu’une proposition s’écrit comme une relation R (a, b, c, …) sur des termes a, b, c, …  déterminés ou variables. On peut considérer que la proposition renvoie à un acte de mise en relation, un acte de liaison, une synthèse réglée sur les termes a, b, c, ... Si la proposition est vraie, la liaison peut effectivement être établie. Si la proposition n’a pas de sens ou est fausse, la liaison ne peut pas être établie. Lorsque les objets sont variables, le quantificateur universel indique que la liaison doit être établie pour tous les objets, le quantificateur existentiel indique que la liaison doit être établie sur au moins un objet dans un certain domaine. À un deuxième niveau, on sait qu’une démonstration est une suite de propositions tirées les unes des autres selon certains schémas d’inférence. Ceux-ci se traduisent par des relations entre les prémisses et les conséquences. On peut considérer que, de même, la démonstration renvoie à des actes de mise en relation, des actes de liaison ou des synthèses réglées accomplis sur les propositions. Bref, on peut admettre que les propositions, les démonstrations expriment des opérations, au sens large, c’est-à-dire des synthèses réglées sur des objets de type quelconque8.

  • 9  M.A.F., p. 177.
  • 10  M.A.F., p. 173.

12À ces gestes opératoires, ou opérations ou procédés, il faut opposer les processus dialectiques. Dans Méthode axiomatique et formalisme, Cavaillès distingue trois processus9. Il y a formalisation lorsqu’une opération accomplie sur des objets intuitifs est, pour ainsi dire, déplacée et rétablie sur des objets abstraits. Ainsi, l’addition sur les entiers devient une simple opération commutative et associative sur les éléments d’un ensemble quelconque. Il y a généralisation ou adjonction d’idéaux, lorsqu’une opération accomplie dans des conditions restrictives et sur un champ borné est dégagée de ces limitations et rétablie sur un champ élargi. Initialement, la soustraction est définie sur les entiers positifs et n’est possible que si le nombre soustrait est plus petit que le nombre dont il est soustrait. Puis, l’opération est généralisée et accomplie sans condition mais sur le champ plus large des entiers positifs et négatifs. Enfin, il y a thématisation, lorsque les opérations accomplies sur un champ d’objets deviennent à leur tour les objets d’une nouvelle opération. Par exemple, en géométrie, les déplacements, qui sont des opérations sur les points du plan, sont soumis à une nouvelle opération, la composition, ce qui leur confère une structure de groupe. Or ces processus dialectiques ne sont pas des opérations. Par exemple, la thématisation, qui correspond à la position d’une opération portant sur des opérations accomplies sur des individus, n’est pas elle-même une opération. En réalité, les opérations ont lieu à l’intérieur d’une théorie, alors que les processus dialectiques marquent le passage d’une théorie à une autre. Plus profondément, contrairement aux opérations, aux gestes, les processus dialectiques ne doivent pas être pensés comme des actes. Ce sont plutôt des changements d’états dans le devenir mathématique, des rapports entre les théories établis rétrospectivement. Le mathématicien opère à l’intérieur d’une théorie donnée, puis, par une sorte de saut dans l’abstrait, passe dans une théorie supérieure. Le rapport d’une théorie à l’autre est caractérisé par un moment dialectique. Mais le passage même est un point aveugle et, tout au plus, témoigne d’un «pouvoir de créer»10, qui, dans les thèses de 1938, reste un problème.

  • 11  Œ.C., p. 579.

13À partir du système kantien, Cavaillès est conduit à dissocier deux plans, un plan combinatoire et un plan opératoire. Les gestes, sur ces deux plans, correspondent aux constructions dans l’intuition. Le geste, au sens le plus large, est une synthèse réglée sur un divers, soit des signes dans un espace combinatoire, soit des objets dans une théorie mathématique. Cependant, les deux plans, combinatoire et opératoire, ne doivent pas être réellement posés à part. En effet, pour Cavaillès, la pensée est « immanente » au geste sur les signes11. Le geste opératoire n’est pas un acte propre, dans l’intériorité du mathématicien, redoublant le geste combinatoire, dans le monde sensible. Le geste combinatoire et le geste opératoire constituent un seul acte, dont ils sont comme les deux faces. Le geste, au sens le plus profond, est un seul acte qui se déploie comme combinatoire et opératoire. C’est une opération qui ne s’accomplit qu’en s’incarnant dans une combinaison de signes. C’est une combinaison de signes qui, pour qui sait lire, constitue une opération.

14Il est vrai que, pour Cavaillès, l’unité du geste, du geste opératoire et du geste combinatoire, de la pensée et de l’écriture, reste un problème. J’ai essayé de montrer, dans ma thèse de doctorat, que la formulation donnée à ce problème et à celui du pouvoir de créer appelle la notion merleau-pontienne d’empiétement.

  • 12  M.A.F., p. 181.
  • 13  M.A.F., p. 172.

15Ces remarques sur le geste, c’est-à-dire sur l’acte mathématique, étaient nécessaires pour déterminer le statut de la conscience. Cavaillès reprend la problématique de Brunschvicg. La conscience est « immanente » à ses actes. Elle est immanente aux opérations immanentes aux gestes sur les signes. La conscience s’exprime dans les opérations mathématiques et celles-ci se réalisent dans des combinaisons de signes. La conscience ne peut se saisir que dans ses opérations et, par conséquent, dans le devenir mathématique. Elle ne possède pas de facultés définissables hors de ou antérieurement à l’enchaînement imprévisible des opérations mathématiques. Celles-ci ne peuvent donc pas être fondées sur une analyse ou une définition transcendantale : « La rationalité de la conscience est véritable immanence c’est-à-dire qu’aucune exigence–pas plus qu’aucune définition–ne peut la garantir. »12. En outre, les opérations, dans lesquelles s’exprime la conscience, se réalisent dans les gestes sur les signes, dans l’expérience. Ainsi, « l’élargissement de la conscience et le développement dialectique de l’expérience coïncident »13.

16Il faut remarquer que, dans ses thèses, Cavaillès donne à la pensée une sorte de transparence à soi ou, selon une formule utilisée dans l’ouvrage posthume à propos des philosophies de la conscience, « une propriété d’auto-illumination intérieure ». La pensée, immanente au geste sur les signes, s’apparaît à elle-même, s’appréhende elle-même et se comprend au fur et à mesure de son accomplissement. Dans les thèses de 1938, la réflexion est coïncidence à soi.

  • 14  M.A.F., p. 26-30. Les citations sans référence, dans les pages qui suivent, sont tirées de ce text (...)

17Pour conclure cette première partie et confronter plus étroitement les considérations précédentes au texte de Cavaillès, je voudrais revenir sur la critique adressée à Kant dans l’introduction de Méthode axiomatique et formalisme14. Ce passage, particulièrement difficile, est situé au début de l’ouvrage mais semble en présupposer les conclusions. En outre, si les deux plans de l’expérience mathématique sont issus, par une sorte de diplopie, du système kantien, on peut, en retour, lire celui-ci aussi bien au niveau combinatoire qu’au niveau combinatoire, comme une description, plus ou moins adéquate, aussi bien de l’expérience combinatoire que de l’expérience opératoire. Dans la thèse principale, le système kantien est interprété au niveau combinatoire. Les constructions dans l’intuition désignent des gestes combinatoires. On verra que, dans Transfini et continu, la question est déplacée et que le système kantien est interprété au niveau opératoire.

18Au départ, Cavaillès refuse, de façon abrupte, l’Esthétique transcendantale. Pour Cavaillès, les formes de l’intuition, dans l’Esthétique transcendantale, ne sont caractérisées que par le biais de notions naïves. Ce n’est donc pas dans l’Esthétique transcendantale qu’il faut chercher une explication de l’espace et du temps mais au niveau du schématisme, en interrogeant l’acte même de construction dans l’intuition. La critique de Cavaillès se divise alors en deux parties, la première concernant l’espace, la seconde concernant le temps.

  • 15  Kant, Critique de la raison pure, tr. fr. Tremesaygues et Pacaud, 3e édition, P.U.F., Paris, 1990, (...)
  • 16  Kant, Critique de la raison pure, op. cit., p. 133. Je cite la traduction de Cavaillès, qui soulig (...)

19Cavaillès, discutant du texte bien connu de la « discipline de la raison pure dans l’usage dogmatique »15, montre que les conditions auxquelles est soumise la construction dans l’intuition doivent être saisies dans l’acte même de construction. L’acte de construction doit comporter une règle ou une « nécessité intérieure ». L’intuition n’est pas « contemplation d’un tout fait, mais appréhension dans l’épreuve de l’acte des conditions mêmes qui le rendent possible ». Or exiger l’intériorité des conditions de la construction à la construction même, c’est, d’une part, exclure le concept en tant que fonction d’unité appartenant à l’entendement et, par suite, extérieure à l’acte synthétique, c’est, d’autre part, exclure l’espace et le temps en tant que formes préexistant dans la sensibilité à l’acte synthétique et, ainsi, le déterminant de l’extérieur. Je développe un peu ces deux points. D’une part, dans Sur la logique et la théorie de la science, Cavaillès se demande, sans trouver de réponse, « qu’est-ce que ce concept en dehors de l’acte synthétique ? » En réalité, Cavaillès refuse l’extériorité du concept à l’acte synthétique. La pensée est rabattue sur l’acte de construction. La pensée, conçue comme opération, est immanente au geste combinatoire. D’autre part, Cavaillès refuse de situer la construction dans « un milieu qui lui [serait] logiquement antérieur ». Ni l’espace, ni le temps, dans lesquels s’accomplit la construction, ne sont des formes inscrites dans la sensibilité humaine, données antérieurement à l’enchaînement des constructions, au devenir mathématique. Un peu plus loin dans l’ouvrage, la lecture de Hilbert apprend que les constructions dans l’intuition, c’est-à-dire les gestes combinatoires, sont soumises à des règles convenues, fixant l’emploi des signes, et que l’espace dans lequel elles s’accomplissent est l’espace combinatoire corrélatif de ces règles d’emploi. Considérons maintenant le temps. Puisque le temps ne préexiste pas à l’enchaînement des constructions, il doit être tiré de ces constructions mêmes. Or on sait que, pour Kant, le temps est la forme selon laquelle s’effectue la synthèse du divers spatial. Pour dégager le temps de la construction, il s’agirait de saisir la synthèse pour soi, indépendamment du divers spatial dont elle réalise la liaison. Par exemple, si l’on trace une droite, il s’agirait de saisir le tracer de la droite en faisant abstraction de la droite tracée. De fait, dans le passage sur le paradoxe du sens interne, au cours de la Déduction transcendantale, Kant semble bien subordonner l’appréhension du temps, ou du moins du concept de succession, à une abstraction de l’espace dans la synthèse spatiale : « ce qui produit d’abord le concept de la succession, c’est le mouvement comme acte du sujet […] et par conséquent la synthèse du divers dans l’espace, si nous faisons abstraction de celui-ci et faisons attention seulement à l’action par laquelle nous déterminons le sens intime conformément à sa forme »16. Pour Kant, qui, dans l’Esthétique transcendantale, a distingué l’espace en tant que forme du divers externe et le temps en tant que forme du divers interne, cette abstraction ne fait pas problème. Mais, si l’on refuse l’Esthétique transcendantale, cette abstraction paraît impossible. La conclusion de Cavaillès est que pour isoler le temps, pour dégager la forme propre du mouvement qui décrit l’espace, Kant en appelle à « la distinction, préalable à toute critique, entre nous comme sujet connaissant et un système d’objets qui affectent notre sensibilité ». Bref, on ne peut pas abstraire de la construction dans l’intuition ce qui serait une forme de temps. En effet, il faudrait saisir la synthèse même, le tracer en faisant abstraction de la droite tracée, ce que Kant ne réussit que grâce à une distinction présupposée entre sujet et objet, intériorité et extériorité. En réalité, le temps n’est que le rythme de la synthèse, un ordre dans le geste : « Si la [construction] se déroule dans le temps, celui-ci ne représente guère qu’un ordre ». Et, cet ordre, on ne peut pas l’abstraire de la construction et le représenter pour soi.

  • 17  Brunschvicg [1922], p. 282.

20Enfin, cette analyse sur le temps permet de revenir sur le statut de la conscience. En effet, refusant la position du temps en tant que forme du sens interne, Cavaillès efface la distinction, dans le système kantien, entre le moi pensant et le moi phénoménal, entre le Je pense et le moi tel que je m’apparais à moi-même dans le temps. Dans le système kantien, cette distinction est exigée par le caractère phénoménal du temps. Le sujet tel qu’il s’apparaît à lui-même dans le temps est relatif à la sensibilité humaine et n’est pas identique au sujet en tant qu’intelligence, qui a son siège dans l’entendement. Comme Brunschvicg le dit bien, le temps, en tant que forme du sens interne, est « une sorte d’écran interposé entre ce que nous sommes et ce que nous nous représentons de nous-mêmes »17. Or Cavaillès, comme Brunschvicg avant lui, retire l’écran et, par suite, rabat le Je pense sur l’acte de construction. Comme dans le relativisme critique, la conscience est un Je pense immanent à l’acte synthétique et aperçu par réflexion sur cet acte.

21En somme, le fondement de la critique que Cavaillès adresse à Kant dans Méthode axiomatique et formalisme est que l’acte de construction, c’est-à-dire le geste combinatoire, n’est soumis qu’à des conditions intérieures à lui-même. Ceci posé, Cavaillès refuse, d’une part, le concept de l’entendement en tant que fonction d’unité extérieure à l’acte synthétique, ce qui signifie rabattre la pensée sur le geste combinatoire, et refuse, d’autre part, l’espace et le temps en tant que formes de la sensibilité, préexistant aux actes de construction. L’espace est déterminé, un peu plus loin dans l’ouvrage, comme espace combinatoire, corrélatif des règles d’emploi. Le temps est défini comme un ordre dans le geste, ordre, que l’on ne peut pas abstraire et représenter pour soi. Enfin, refusant le temps comme forme du sens interne, Cavaillès fait de la conscience un Je pense immanent à l’acte de construction. Autrement dit, la pensée, conçue comme opération, se réalise dans un geste d’écriture mais reste transparente à soi, coïncidant à elle-même.

22Cependant, la critique que Cavaillès adresse à Kant semble donner lieu à une difficulté. Naïvement, on se représente le temps comme une forme bien définie et possédant des propriétés indépendamment des vécus qui la remplissent. Or, en refusant l’abstraction et la représentation du temps, Cavaillès ne peut pas rendre compte de ce qu’est le temps pour le sens commun. De même, contrairement à l’espace dans lequel se déroule la construction, dont Kant fait la forme de la sensibilité externe et que Cavaillès réinterprète comme espace combinatoire, le temps, dont Kant fait la forme du sens interne, ne peut pas être réinterprété et ne possède aucun correspondant dans l’épistémologie de Cavaillès. La solution sera de relire le système kantien au niveau opératoire, non plus combinatoire, pour chercher alors le processus qui réalise l’abstraction et la représentation du «temps» des opérations mathématiques.

23« Transfini et continu » est un article court, rédigé entre 1940 et 1941 et qui porte, pour l’essentiel, sur la démonstration par Gödel de la non-contradiction de l’axiome du choix et de l’hypothèse du continu avec les autres axiomes du système Zermelo-Fraenkel. Toutefois, en conclusion, Cavaillès revient sur le système kantien pour formuler de nouvelles critiques, qui modifient profondément la problématique brunschvicgienne adoptée dans les thèses de 1938. Je ne discuterai pas de ces critiques dans leur ensemble. Je me contenterai de détacher deux points.

  • 18  Sur la logique et la théorie de la science (noté dorénavant L. T. S.), 5e édition, Vrin, Paris, 19 (...)
  • 19  « Transfini et continu », dans Œ.C., p. 470.

24En premier lieu, Cavaillès semble reprocher au système kantien de rendre impossibles les mathématiques de l’infini, c’est-à-dire les mathématiques, si c’est bien « avec l’infini [que] commence la véritable mathématique »18. Il y a « exclusion du nombre infini : comment construire dans le temps ce qui suppose une infinité d’étapes ? »19. Dans la mesure où la construction s’accomplit dans le temps, elle ne peut pas comporter une infinité d’étapes. En particulier, on ne peut pas compter jusqu’à l’infini. On ne peut pas parcourir la totalité des nombres. On ne peut donc pas atteindre le transfini. Les mathématiques de l’infini, comme la théorie cantorienne des ordinaux, seraient impossibles dans le système kantien. Cependant, il faut remarquer que, ici, le système kantien est lu au niveau opératoire. En effet, l’acte que l’insertion dans le temps rend impossible est l’acte de compter, c’est-à-dire l’opération de numération, le geste opératoire. Un geste combinatoire, quel qu’il soit, ne comporte qu’un nombre fini de signes (avec éventuellement des points de suspension «1, 2, 3, …» auxquels les règles d’emploi de la mathématique intuitive donnent un sens). L’infini ne se trouve pas au niveau des signes mais au niveau du sens. Le caractère indéfini du temps, cet inachèvement qui ne permet jamais de totaliser une infinité d’étapes, n’interdit pas le geste combinatoire mais l’opération réalisée dans le geste combinatoire. Par conséquent, si Cavaillès peut affirmer que l’insertion de l’acte de construction dans le temps interdit les mathématiques de l’infini, c’est en considérant la construction dans l’intuition comme un geste opératoire et non plus comme un geste combinatoire. Bref, la question du temps est déplacée du niveau combinatoire au niveau opératoire. En outre, si l’insertion dans le temps interdit le geste opératoire, ce n’est pas que celui-ci ne possède pas une temporalité propre mais que le temps de l’opération n’est pas le temps au sens usuel, ce temps vécu ou ce temps naturel, dont nous avons tous l’expérience. Un peu plus haut, Cavaillès évoque « un temps de la construction », qui n’est pas représenté dans l’acte même de construction, qui n’est pas donné au moment de l’acte de construction et, par suite, ne peut pas constituer une condition fixe, une forme prédéterminée limitant l’acte de construction. Au fond, Cavaillès semble prendre le contre-pied de certaines analyses du courant intuitionniste. Je prends pour exemple la critique que fait Borel de la démonstration par Zermelo de la possibilité de bien ordonner un ensemble quelconque avec l’axiome de choix. Borel caractérise ainsi le raisonnement de Zermelo : « Pour bien ordonner un ensemble, il suffit d’y choisir arbitrairement un élément auquel on attribuera le rang 1, puis un autre auquel on attribuera le rang 2 et ainsi de suite, transfiniment, jusqu’à ce qu’on ait épuisé les éléments de [l’ensemble] ? Pour Borel, ce procédé, qui comporte un nombre transfini d’étapes, ne peut pas être effectivement réalisé par un mathématicien. Le présupposé de Borel et, ensuite, de Brouwer est que les opérations du mathématicien sont situées dans le temps. Cavaillès accepte en partie le présupposé, accorde que les opérations mathématiques sont situées dans un temps mais admet que des procédés tels que celui que décrit Borel ont une place en mathématiques, et conclut que le temps dans lequel ils sont situés n’est pas le temps vécu, le temps naturel. Enfin, si chaque opération possède son temps propre, l’une des tâches sera de déterminer les temps mathématiques, ces temps dans lesquels se situent les opérations mathématiques. Cependant, dans Méthode axiomatique et formalisme, Cavaillès, rattachant le temps au geste combinatoire, refusait la possibilité d’abstraire le temps du geste. Si, dans « Transfini et continu», le temps est rattaché au geste opératoire, le problème de l’abstraction du temps reste. Il s’agit encore de savoir si et comment on peut abstraire le temps du geste. Avant même de déterminer les temps mathématiques, il faudra donc chercher un processus qui réalise l’abstraction du temps dans le geste.

  • 20  « Transfini et continu », dans Œ.C., p. 470.

25En second lieu, Cavaillès dénonce « l’ambiguïté de la philosophie transcendantale de poser les conditions de la connaissance relativement à une activité synthétique qui serait définissable et appréhendable directement dans une connaissance échappant elle-même à la critique » 20On voit d’emblée que la problématique de la conscience est radicalement transformée par rapport aux thèses de 1938. Manifestement, Cavaillès refuse maintenant la position «d’une activité synthétique définissable et appréhendable directement» et cette «propriété d’auto-illumination intérieure» attribuée au vécu. Il faut reconnaître que la conscience n’est pas témoin d’elle-même, que la pensée n’est pas transparente à soi et ne s’appréhende pas elle-même immédiatement au fur et à mesure de son développement. Mais il reste à comprendre en quoi consiste « l’ambiguïté » de la philosophie transcendantale. On peut, je crois, répondre de la façon suivante. La philosophie transcendantale analyse l’activité du sujet impliquée dans la connaissance du monde. Cette activité, elle la suppose transparente à soi, se connaissant elle-même en même temps qu’elle connaît le monde. Pourtant, dans la vie naturelle, le sujet ignore son activité transcendantale. Cette activité, que le philosophe découvre, reste cachée au sujet qui l’opère. Par conséquent, l’activité qui connaît le monde n’est pas transparente à soi et n’est pas connue en même temps que connaissant mais connue dans la mesure seulement où elle fait l’objet d’une activité secondaire, propre à la philosophie transcendantale. Autrement dit, la philosophie transcendantale met en œuvre une activité secondaire pour connaître l’activité primaire qui connaît le monde. Mais, en supposant une transparence à soi de l’activité primaire qui connaît le monde, le philosophe transcendantal ignore son activité propre comme le sujet naturel ignore la sienne lorsqu’il connaît le monde. Le philosophe et le sujet sont, l’un comme l’autre, aveugles à leur activité propre. La philosophie devrait donc se prêter à une philosophie au second degré ou, comme le dit Merleau-Ponty, à une sorte de sur-réflexion, dont la fonction serait de décrire l’activité que le philosophe met en œuvre mais ignore, exactement comme la philosophie décrit l’activité du sujet qui connaît le monde. Mais la philosophie transcendantale est, sur ce point, ambiguë ou conserve une certaine duplicité, puisque, précisément, en supposant que l’activité qui connaît le monde est transparente à soi, elle refuse de se soumettre à son tour à la critique à laquelle elle a soumis le sujet connaissant. Bref, la réflexion, la connaissance de la pensée par elle-même n’est pas immédiate mais met en œuvre des processus cachés qu’il faut découvrir.

26En résumé, l’article « Transfini et continu » révèle par rapport aux thèses de 1938 une double transformation dans la problématique de la conscience. D’une part, Cavaillès déplace sa lecture de Kant du niveau combinatoire au niveau opératoire, ce qui le conduit à s’interroger sur le temps propre des opérations mathématiques et sur le processus permettant l’abstraction du temps. D’autre part, Cavaillès refuse la transparence à soi de la pensée, l’immédiateté de la réflexion, qu’il admettait encore dans les thèses de 1938, et, au contraire, demande une analyse des processus sous-jacents à la réflexion. Il s’agit donc de déterminer deux processus, celui par lequel la pensée se réfléchit et celui par lequel la pensée détache son temps propre. C’est, en partie, à ce problème que répond la définition du paradigme et du thématique dans Sur la logique et la théorie de la science.

  • 21  L.T.S., p. 46.

27J’ai indiqué plus haut que la thématisation est le processus par lequel les opérations accomplies sur un champ d’objets deviennent à leur tour les objets d’une nouvelle opération. Le thématique est l’opération accomplie en tant qu’objet d’une nouvelle opération. Comment la thématisation prend-elle une fonction réflexive ? Admettons que la pensée n’est pas transparente à soi. La pensée, qui se déploie comme opération, s’ignore dans son accomplissement effectif. Lorsque le mathématicien accomplit une opération sur des objets, il connaît ces objets sans connaître l’opération par laquelle il connaît ces objets. L’opération n’est connue qu’en se faisant l’objet d’une nouvelle opération. La réflexion se fait par thématisation. Elle exige une nouvelle opération prenant pour objet l’opération réfléchie. La pensée n’est pas réfléchie par transparence ou coïncidence à soi mais dans une sorte de redoublement. Dans Sur la logique et la théorie de la science, Cavaillès rapproche la thématisation et l’idée de l’idée spinoziste21. On pourrait, en s’appuyant sur certains textes de Méthode axiomatique et formalisme, comparer l’opération sur l’objet à l’idée de l’objet, dans le système de Spinoza. Du moins, si, connaissant l’objet, le mathématicien ne connaît pas l’opération par laquelle il connaît l’objet, on dira, en identifiant opération et idée, que connaissant l’objet, le mathématicien ne connaît pas l’idée de l’objet. L’idée de l’objet n’est connue qu’en tant qu’objet d’une autre idée, l’idée de l’idée, comme l’opération sur l’objet n’est connue qu’en tant qu’objet d’une autre opération, l’opération thématisante. Ce rapprochement avec Spinoza semble confirmer la fonction réflexive de la thématisation.

  • 22  L.T.S., p. 42 et p. 43.

28Dans Sur la logique et la théorie de la science, Cavaillès définit, à côté du thématique, le paradigme. J’appelle, pour faire symétrie avec la thématisation, paradigmation le processus qui pose le paradigme d’une opération. L’opération est une synthèse réglée sur des objets. Elle forme un complexe d’objets en relation. Le paradigme est la structure de ce complexe, le schéma qui se détache lorsque l’on élimine les contenus intuitifs pour les remplacer par des possibilités de contenus ou des contenus abstraits. Le paradigme est posé en regard d’un champ de variation, composé des objets intuitifs auxquels le paradigme s’applique. Ainsi, la paradigmation implique une élévation vers un abstrait formel, «un décrochage avec suppression de singularité», et une disjonction, «une dissociation libératrice de sens», qui pose en regard un schéma à places vides et un champ de variation22.

  • 23  L.T.S., p. 42-3.

29Je crois qu’il faut associer le paradigme à la question du temps de l’opération évoquée dans « Transfini et continu ». Dans Méthode axiomatique et formalisme, Cavaillès définissait le temps comme un ordre dans le geste, qui, alors, était un geste combinatoire. Si, dans «Trans-fini et continu», le temps est rattaché au geste opératoire, on peut conserver la définition du temps comme un ordre dans le geste. Or le paradigme est bien un ordre dans l’opération accomplie, détaché de celle-ci et représenté pour soi comme structure. Le paradigme serait le temps de l’opération mathématique. En outre, en définissant le paradigme, Cavaillès revient sur le temps kantien qu’il décrit dans les mêmes termes que le paradigme23. Comme le rapprochement avec Spinoza du côté de la thématisation, ce rapprochement avec Kant confirmerait la fonction réflexive de la paradigmation. Sans doute, on peut se demander si, en pensant le temps de l’opération comme structure ou forme d’ordre, on récupère les caractères du temps au sens usuel, du temps vécu, et, par exemple, l’irréversibilité d’un flux. Il me semble que l’on peut admettre que le paradigme caractérise la structure du temps de l’opération, qui serait tantôt continu comme le temps vécu, tantôt discret comme le temps de la numération, tout en reconnaissant que le paradigme ne suffit pas à décrire les caractères propres du temps, à décrire ce qui fait que le temps de l’opération est, comme le temps vécu, du temps.

  • 24  L.T.S., p. 90.

30Dans l’article «Transfini et continu», Cavaillès, rejetant la réflexion immédiate qu’invoquent les philosophies de la conscience, pose le problème des processus qui permettent la réflexion et l’abstraction du temps. Dans Sur la logique et la théorie de la science, ces processus semblent décrits comme thématisation et paradigmation. Comment, dans ce cadre, penser la conscience ? La réflexion n’est plus coïncidence à soi, appréhension immédiate de la pensée qui se développe. La réflexion est le devenir objet d’une pensée, c’est-à-dire d’une opération, ce qui exige l’intervention d’une nouvelle opération prenant l’opération accomplie pour objet. La conscience n’est plus ce Je pense immanent à l’acte synthétique. La conscience, lorsque l’on dit avoir conscience de sa pensée, traduit le redoublement thématisant. Une pensée, c’est-à-dire une opération, est consciente en tant qu’elle est l’objet d’une autre pensée. La conscience, au sens de sujet conscient et que l’ontologie naïve se représente comme une sphère indépendante de pensées transparentes à soi, n’est que la multiplicité ouverte des opérations thématisées ou des idées qui, dans le devenir mathématique, se font objets pour d’autres idées. Ainsi, dans les dernières lignes de l’ouvrage posthume, Cavaillès rattache la conscience ou les moments de la conscience au devenir des idées mathématiques24. La conscience n’est pas première mais dérivée d’une propriété du devenir mathématique. Dans le devenir mathématique, les opérations se font objets pour d’autres opérations. J’appelle cette propriété de redoublement réflexivité du devenir mathématique. La conscience renvoie à la réflexivité du devenir mathématique.

  • 25  L.T.S., p. 36.

31Dès la conférence à la Société française de Philosophie, en 1939, Cavaillès évoque l’autonomie du devenir mathématique. Celle-ci est d’abord synonyme de la nécessité du devenir mathématique. Je l’ai dit en introduction, le devenir mathématique est nécessaire en ce que les raisons du devenir sont intérieures aux champs en devenir, de sorte que l’on peut comprendre le devenir mathématique sans faire intervenir de causalité extérieure. Mais, dans l’ouvrage posthume, « l’autonomie » du devenir mathématique prend un sens plus fort. La mathématique est « un objet sui generis, original dans son essence, autonome dans son mouvement »25. La mathématique est comme animée. Elle se développe d’un mouvement propre. Celui-ci possède une propriété de réflexivité. Les opérations mises en œuvre se font objets pour de nouvelles opérations et la conscience est le résultat de cette réflexivité. La conscience est ce qui, dans le devenir mathématique, se thématise. La conscience est le lieu où le devenir mathématique boucle et revient sur lui-même.

32En revenant sur la problématique brunschvicgienne de la conscience adoptée dans les thèses de 1938, puis en suivant l’évolution des critiques adressées à Kant entre Méthode axiomatique et formalisme et « Transfini et continu », j’ai voulu tenter de mieux cerner les perspectives qu’ouvre l’ouvrage posthume. Cavaillès ne me semble pas tant éliminer la notion de conscience qu’inverser une problématique traditionnelle pour, finalement, rendre compte de la conscience à partir du devenir de la science et de ce que j’appelle sa réflexivité. Je reconnais que, au cours de travail, je ne me suis référé que de loin en loin au texte de Cavaillès, que je l’ai souvent débordé, comme pour en compléter les lacunes. Pour conclure, je voudrais justifier la méthode de ce commentaire, que l’on pourrait dire de survol, et, pour cela, je commencerai par interroger le caractère énigmatique, que remarquait Canguilhem, du style de Cavaillès.

  • 26  Œ.C., p. 594.
  • 27  Œ.C., p. 625.

33Dans sa conférence à la Société française de Philosophie, Cavaillès semble réduire toute pensée à la pensée mathématique : « Il n’y a pas de représentation effectivement pensée (distincte du pur vécu) qui ne soit système mathématique dans la mesure où elle est pensée–c’est-à-dire organisation réglée du sensible […] »26. Un système mathématique est, pour Cavaillès, un système de signes et de règles d’emploi alors que le pur vécu est un champ « d’impressions vécues, rigoureusement intraduisibles, rigoureusement inutilisables au moyen d’une règle. »27. Or la pensée s’exprime dans des signes et, dans la mesure où elle ne se réduit pas au pur vécu, elle s’exprime dans un système de signes et de règles, c’est-à-dire comme système mathématique. Les mathématiques ne sont pas caractérisées par quelques formes démonstratives fixées. Les mathématiques sont caractérisées par l’existence de règles qui gouvernent l’emploi des signes et qui rendent les opérations communicables et vérifiables. En ce sens, toute pensée authentique est mathématique. En particulier, la philosophie est mathématique. La philosophie est un système de signes, les mots du langage, et de règles, règles usuelles de la grammaire, règles spécifiques qui déterminent le sens donné aux mots. La difficulté est que, si le texte philosophique est soumis à des règles aussi strictes que celles de la démonstration mathématique, le philosophe ne peut pas montrer le cheminement qui conduit du langage usuel ou du langage des philosophes qui le précèdent à son propre langage. En effet, pour passer d’un langage à un autre, il lui faudrait modifier les règles peu à peu, au fur et à mesure de sa progression, ce qui enlèverait à la philosophie son caractère mathématique. Le texte philosophique développe un langage construit sans pouvoir le construire. Le philosophe procède en alignant les formules de son langage sans pouvoir en livrer les clés. En particulier, pour faire le lien aux philosophies qui le précèdent, le philosophe redéfinit dans ses propres termes les notions anciennes sans pouvoir réellement les rejoindre, les réintroduire et montrer la transformation qu’il opère. Cette simple redéfinition, cette redéfinition sans discussion est ce que tente Cavaillès, dans l’ouvrage posthume, en rapportant l’idée de l’idée à la thématisation ou le temps au paradigme. Finalement, ce serait l’idéal de rigueur mathématique qui expliquerait le caractère énigmatique du texte philosophique. Et, à l’inverse, le commentaire renoncerait à cet idéal pour refaire le cheminement du sens commun et des philosophies antérieures à celle qu’il cherche à expliciter.

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Notes

1  Canguilhem, Vie et mort de Jean Cavaillès, repris dans Cavaillès, Œuvres complètes de philosophie des sciences (noté dorénavant Œ. C.), B. Huisman éd., Hermann, Paris, 1994, p. 686 et p. 674.

2  G. Ferrières, Jean Cavaillès, un philosophe dans la guerre, 2e édition, Seuil, Paris, 1982, p. 119.

3  À la Société française de Philosophie, Cavaillès déclare que son problème directeur « est, très modestement repris, le problème que se posait Kant » (Œ. C., p. 625).

4  « Sur les problèmes futurs des mathématiques », Éd. J. Gabay, Sceaux, 1990.

5  « Sur les problèmes futurs des mathématiques », op. cit., p. 7-8.

6  Cavaillès, Méthode axiomatique et formalisme (noté dorénavant M.A.F.), 2e édition, Hermann, Paris, 1980, p. 93.

7  Je m’appuie sur une analyse de G.-G. Granger (dans Pensée formelle et sciences de l’homme, Aubier, Paris, 1960, p. 50-1) qui, sans citer Cavaillès, semble développer la définition un peu elliptique de l’espace combinatoire.

8  Pour suivre les analyses de Cavaillès, il faut penser les propositions, les démonstrations, les actes mathématiques sous un seul concept de geste ou d’opération et penser le geste, l’opération comme une synthèse réglée. Néanmoins, cette réduction est sous-jacente aux analyses de Cavaillès et sa méthode n’est pas interrogée. En réalité, cette réduction renvoie au contexte brunschvicgien ou, si l’on veut, néokantien dans lequel s’enracine l’épistémologie de Cavaillès.

9  M.A.F., p. 177.

10  M.A.F., p. 173.

11  Œ.C., p. 579.

12  M.A.F., p. 181.

13  M.A.F., p. 172.

14  M.A.F., p. 26-30. Les citations sans référence, dans les pages qui suivent, sont tirées de ce texte.

15  Kant, Critique de la raison pure, tr. fr. Tremesaygues et Pacaud, 3e édition, P.U.F., Paris, 1990, p. 494-5.

16  Kant, Critique de la raison pure, op. cit., p. 133. Je cite la traduction de Cavaillès, qui souligne.

17  Brunschvicg [1922], p. 282.

18  Sur la logique et la théorie de la science (noté dorénavant L. T. S.), 5e édition, Vrin, Paris, 1997, p. 85.

19  « Transfini et continu », dans Œ.C., p. 470.

20  « Transfini et continu », dans Œ.C., p. 470.

21  L.T.S., p. 46.

22  L.T.S., p. 42 et p. 43.

23  L.T.S., p. 42-3.

24  L.T.S., p. 90.

25  L.T.S., p. 36.

26  Œ.C., p. 594.

27  Œ.C., p. 625.

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Pour citer cet article

Référence électronique

Pierre Cassou-Noguès, « Conscience et réflexivité dans la philosophie mathématique de Cavaillès », Methodos [En ligne], 1 | 2001, mis en ligne le 09 avril 2004, consulté le 26 juin 2017. URL : http://methodos.revues.org/55 ; DOI : 10.4000/methodos.55

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