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Analyses et interprétations

L’excès de l’état par rapport à la situation dans L’être et l’événement de A. Badiou1

Pierre Cassou-Noguès

Résumés

Cet article est une discussion de l’ouvrage de A. Badiou, L’être et l’événement, autour de la question du rapport de l’état (et de l’Etat) à la situation. Nous commençons par rappeler la place que donne A. Badiou aux mathématiques dans son dispositif. Nous parcourons ensuite L’être et l’événement en prenant comme fil directeur cette question, du rapport de l’état à la situation. La dernière partie compare la position de A. Badiou à la tradition « épistémologique » en France et, en particulier, aux textes de Jean Cavaillès, dont A. Badiou se réclame à plusieurs reprises. L’originalité de A. Badiou dans cette tradition est sans doute sa rupture avec la perspective historique mais le problème, que cette confrontation pose, est de savoir s’il est en effet possible de couper les théories mathématiques de leur histoire, comme A. Badiou doit le faire.

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Texte intégral

  • 1  Une première version de ce travail a été présentée lors d’une journée consacrée à la philosophie d (...)

1J’étudierai ici le rapport de l’état, et de l’Etat au sens politique, à la situation dans L’être et l’événement. Cette question me semble propre à donner une présentation succincte de la philosophie de A. Badiou et à discuter de la portée que celui-ci donne aux mathématiques.  

2Un résultat fondamental, dans L’être et l’événement, est que l’état excède sa situation. En fait, A. Badiou reformule le théorème de Cantor qui affirme qu’un ensemble a une puissance inférieure à l’ensemble de ses parties. Dans le dispositif de L’être et l’événement, un ensemble est une situation, l’ensemble des parties est l’état de la situation. Lorsque la situation est sociale, « l’état » est à prendre au sens politique, « l’Etat » donc. Reformulé ainsi dans l’espace conceptuel de L’être et l’événement, le problème du continu est de savoir si, étant donné une situation, on peut fixer la puissance de l’état. La réponse est que l’on ne peut pas : l’excès de l’état par rapport à la situation n’est pas assignable. Le problème du continu, ainsi reformulé, dirige les deux dernières parties de L’être et l’événement. A. Badiou distingue deux grandes orientations dans la pensée contemporaine : la pensée constructive de Leibniz-Gödel et la pensée générique de P. Cohen. On peut dire que la pensée constructive maintient l’être sous la juridiction de la langue en ce que, finalement, elle exige que chaque partie d’un multiple, d’une situation, puisse être isolée, par une propriété énoncée dans la langue. En revanche, la pensée générique s’appuie sur l’existence de parties indiscernables dans la langue, lesquelles représentent une vérité, qui, échappant à l’encyclopédie des propriétés, semblent « faire trou » dans le savoir et révèlent l’action du sujet qui « les force ». Le théorème de l’excès de l’état est donc au centre de l’ontologie mathématicienne, telle que Badiou la déploie, et appelle un long parcours dans L’être et l’événement.  

3Je commencerai par évoquer la position relative des mathématiques et de la philosophie dans le dispositif que met en place A. Badiou. Dans un deuxième temps, plus long, je suivrai L’être et l’événement, en m’arrêtant sur le théorème de Cantor, le problème du continu et la bifurcation entre la voie constructive de Gödel et la voie générique de P. Cohen. Dans un dernier temps, je reviendrai de façon critique sur la portée ontologique que A. Badiou donne aux mathématiques. Je comparerai alors la position de A. Badiou à celle de Cavaillès.

  • 2  Manifeste pour la philosophie, Paris, Seuil, 1989, p.41.
  • 3  Manifeste pour la philosophie, op. cit., p.88.

41. La thèse, qui sous-tend L’être et l’événement, est que les mathématiques réalisent la science de l’être en tant qu’être. Les mathématiques sont l’ontologie. Le point de départ de A. Badiou est que l’on ne peut sortir des apories de l’un et du multiple que par une décision qui reconnaît le multiple comme le régime de la présentation, et l’un comme le résultat d’une opération, compter pour un, prendre pour terme. L’être en tant qu’être a pour seul caractère d’être présenté comme un multiple susceptible d’être compté pour un. Or les mathématiques, sous le nom de théorie des ensembles, font la théorie de ces multiples à compter pour un. Par conséquent, les mathématiques disent ce que l’on peut dire de l’être en tant qu’être. Evidemment, il restera à expliciter la portée ontologique des théorèmes mathématiques, portée ontologique que les mathématiciens eux-mêmes peuvent ignorer. Mais, avant tout, l’attribution aux mathématiques de la tâche ontologique appelle un réexamen des tâches de la philosophie elle-même. La philosophie ne peut pas se contenter de répéter l’ontologie mathématicienne. Si les mathématiques développent la science de l’être en tant qu’être, la philosophie devra plutôt ouvrir à ce qui n’est pas l’être en tant qu’être, l’événement. En effet, l’événement est exclu de l’ontologie mathématicienne. Nous verrons que, si l’événement a les traits que lui prête A. Badiou, l’ontologie mathématicienne écarte, par un axiome spécifique, la considération de l’événement. Pourtant, l’événement donne lieu à une production de vérités, dans ce que A. Badiou appelle une procédure générique. On peut distinguer quatre sortes de procédures génériques, l’amour, l’art, la politique et la science elle-même en tant que, dans leur historicité, les travaux de Cantor sont un événement et forment le point de départ d’une production de vérité. La tâche de la philosophie sera de ressaisir et de pouvoir nommer ces événements, qui sont exclus de l’ontologie mathématicienne mais qui constituent la source des productions de vérité. La philosophie déploie un espace conceptuel dans lequel peuvent être pensées les quatre procédures génériques, amour, art, politique et science. La philosophie n’existe que sous la condition qu’il y ait eu événement et production de vérité, dans l’amour, l’art, la politique, la science. Elle ne produit pas elle-même de vérités. Elle ne fait que donner un cadre à des vérités extérieures : « La philosophie est la configuration en pensée de ce que ces quatre conditions génériques sont compossibles »2. Cette configuration en pensée sera déterminée par une condition dominante, un référent principal. Le pari de A. Badiou est que, dans la période contemporaine, on peut prendre pour fil directeur l’événement mathématique et s’installer dans le cadre ontologique que les mathématiques dessinent. Il faut alors replacer cette ontologie mathématicienne aux abords de l’événement et, dans cette confrontation de l’ontologie mathématicienne à ce qu’elle exclut, déployer un espace conceptuel où l’on puisse situer les procédures génériques, l’amour, l’art, la politique et, évidemment, la science elle-même. L’être et l’événement est écrit « sous l’hypothèse générale que la pensée de l’être-en-tant-qu’être s’accomplit dans les mathématiques et que, pour accueillir et rendre compossibles ses conditions, la philosophie doit déterminer le ‘ce-qui-n’est-pas-l’être-en-tant-qu’être’, que j’ai désigné comme événement »3.

  • 4  L’être et l’événement, Paris, Seuil, 1988, p.201.
  • 5  L’être et l’événement, op. cit., p.212.

5Une remarque est nécessaire, qui précise pourquoi l’événement est exclu de l’ontologie mathématicienne. L’événement, pour A. Badiou, est un multiple qui appartient à lui-même, un multiple qui figure parmi les termes qui le composent. On peut prendre l’exemple de la Révolution française. Le multiple de la Révolution sera composé des électeurs des Etats généraux, des paysans, des sans-culottes des villes, des soldats, etc. Mais, si Saint-Just peut déclarer, pendant la Révolution, que « la Révolution est glacée », c’est que la Révolution, en tant qu’événement, se détermine en fonction d’elle-même4. Dans une sorte de torsion, la Révolution se suppose elle-même, de sorte qu’elle entre dans les éléments qui la constituent. On peut penser l’événement comme un multiple, un ensemble d’éléments mais il faut reconnaître que, parmi les éléments qui le composent, il y a l’événement lui-même. A. Badiou définit donc l’événement comme un ensemble qui est l’un de ses propres éléments. Or, par une décision explicite, en énonçant l’axiome de fondation, l’ontologie mathématicienne, la théorie des ensembles, exclut de tels multiples, des ensembles qui sont éléments d’eux-mêmes. Si les mathématiques déploient la théorie de l’être en tant qu’être, elles repoussent l’événement dans le ce qui n’est pas l’être en tant qu’être : « L’axiome de fondation dé-limite l’être par l’interdit de l’événement ». L’événement apparaît comme le « point d’impossibilité du discours sur l’être-en-tant-qu’être »5.

6Les méditations « conceptuelles » de L’être et l’événement auront pour but d’expliciter la portée ontologie de la théorie des ensembles et de mettre les résultats de cette théorie de l’être en tant qu’être en rapport à ce qui n’est pas l’être en tant qu’être, l’événement. Elles se déroulent en un va-et-vient. Tantôt, elles partent des énoncés mathématiques, pour rétablir leur portée ontologique. Tantôt, elles partent de situations données ailleurs, dans la politique, dans l’histoire de la philosophie, pour retrouver dans l’ontologie mathématicienne leur formalisation et les théorèmes qui s’y rapportent. La théorie des ensembles formalise des situations quelconques. Ses objets sont des multiples composés de termes indéterminés. Pour retrouver dans ce cadre le formalisme d’une situation, il suffit d’isoler un ensemble possédant les mêmes caractéristiques. C’est de cette façon par exemple que A. Badiou pourra identifier l’ensemble des parties d’un ensemble donné à l’Etat régissant une situation donnée.

72. Ces quelques remarques avaient pour but de rappeler la position réciproque des mathématiques et de la philosophie. Je voudrais maintenant suivre les méditations de L’être et l’événement, pour entrer dans l’ontologie mathématicienne et saisir les raisons de l’excès de l’état par rapport à la situation. Il me faudrait dégager la signification ontologique des axiomes de la théorie des ensembles. Je n’évoquerai que l’axiome de séparation, avec la réponse qu’il donne aux paradoxes. Entre 1895 et 1905, plusieurs paradoxes ont été mis en évidence dans la théorie des ensembles. Pour répondre à ces paradoxes, c’est-à-dire pour les écarter, Zermelo, en 1908, met en place un système d’axiomes. Celui-ci, s’il sera modifié, donne dans ses grands traits la figure qu’a conservée la théorie des ensembles. Le paradoxe le plus inquiétant, parce que le plus simple, était celui de Russell. Le paradoxe de Russell concerne l’ensemble des ensembles qui n’appartiennent pas à eux-mêmes. L’ensemble des cuillères à thé n’est pas une cuillère à thé. L’ensemble des cuillères à thé n’est pas l’un de ses éléments. Autrement dit, il n’appartient pas à lui-même. Or considérons l’ensemble des ensembles qui n’appartiennent pas à eux-mêmes. Notons-le E. L’ensemble E appartient-il à lui-même ? S’il appartient à lui-même, il est l’un de ses éléments, soit l’un de ces ensembles qui n’appartiennent pas à eux-mêmes : il n’appartient pas à lui-même. Cependant, s’il n’appartient pas à lui-même, l’ensemble E, étant composé des ensembles qui n’appartiennent pas à eux-mêmes, est l’un de ses éléments : il appartient à lui-même. Bref, l’ensemble E, l’ensemble des ensembles qui n’appartiennent pas à eux-mêmes, donne lieu à une contradiction. Il reste à savoir d’où vient la contradiction.

  • 6  L’être et l’événement, op. cit., p.51.
  • 7  L’être et l’événement, op. cit., p.58.

8Le diagnostic de Zermelo, autour de 1908, est que la difficulté vient du rapport entre langue et objets mathématiques. On utilise une propriété, telle que « être une cuillère à thé », « être un nombre pair », pour définir un ensemble, l’ensemble des cuillères à thé, l’ensemble des nombres pairs. On construit un énoncé dans la langue et on admet l’existence d’un ensemble dont les éléments sont les objets qui rendent cet énoncé vrai.  On admet que toute propriété, énonçable dans la langue, permet d’isoler un ensemble. Du coup, la propriété « être un ensemble qui n’appartient pas à soi-même » définit un ensemble, l’ensemble des ensembles qui n’appartiennent pas à eux-mêmes et celui-ci donne lieu une contradiction. La solution sera de refuser le postulat implicite que toute propriété, énoncée dans la langue, définit un ensemble. Il faut renoncer à cette adéquation entre la langue et les objets mathématiques, c’est-à-dire les ensembles ou les multiples : « le multiple ne se laisse pas prescrire du point de vue de la langue »6. Le rapport entre propriété et ensemble, langue et objet de la langue doit être fixé dans un axiome, explicite, qui restreigne le pouvoir de la langue. Ainsi, l’axiome de séparation stipule que, étant donné un ensemble, toute propriété, dans une langue bien faite, définit un sous-ensemble. Autrement dit, c’est seulement dans un ensemble déjà reconnu comme tel que l’on peut utiliser une propriété, un énoncé dans une langue adéquate, pour isoler un nouvel ensemble, sous-ensemble du premier. C’est seulement dans une situation déjà donnée, dans un multiple déjà présenté, que la langue a le pouvoir de décréter une existence. « L’axiome de Zermelo a donc ceci de matérialiste qu’il rompt avec la figure de l’idéalinguisterie (dont le prix est le paradoxe de l’excès) où la présentation existentielle du multiple s’infère directement de la langue bien faite. Il rétablit que ce n’est que dans la présupposition de l’existence que le langage opère (sépare), et que ce qu’il induit ainsi de multiplicité consistante est supporté dans l’être, de façon anticipante, par une présentation déjà-là »7.

9On pourrait observer un usage de l’axiome de séparation dans la démonstration de ce que A. Badiou appelle le théorème du point d’excès. Il faut d’abord évoquer la notion de « partie » d’un ensemble. Une partie ou (c’est la même chose) un sous-ensemble de l’ensemble des cuillères à thé est un ensemble composé de cuillères à thé, un ensemble qui prend ses éléments dans l’ensemble des cuillères à thé. Les cuillères à thé chinoises formeront une partie, un sous-ensemble de l’ensemble des cuillères à thé. On dit qu’un élément, telle cuillère à thé, appartient à l’ensemble des cuillères à thé, alors qu’une partie est incluse dans l’ensemble des cuillères à thé. Maintenant, partant d’un ensemble donné, on peut former l’ensemble des parties de cet ensemble. Il y a, dans le système de Zermelo, un axiome qui nous y autorise. Le théorème du point d’excès, pour reprendre la dénomination que lui donne A. Badiou, affirme en gros que l’ensemble des parties d’un ensemble donné est « plus grand » que cet ensemble. Si l’on veut, il y a plus de parties dans l’ensemble des parties que d’éléments dans l’ensemble initial. D’un côté, chaque élément peut être coordonné à une partie différente. Il suffit de coordonner un élément à la partie composée de cet unique élément. Par exemple, à telle cuillère à thé, élément de l’ensemble des cuillères à thé, on associe le sous-ensemble composé de cette unique cuillère à thé. Mais, de l’autre côté, on ne peut pas dans une correspondance terme à terme, un à un, coordonner chaque partie à un élément de l’ensemble initial. C’est le théorème de Cantor. J’évoquerai en quelques mots sa démonstration. Elle se fait par l’absurde. Supposons que l’on puisse coordonner terme à terme les parties et les éléments d’un ensemble. Considérons alors la partie, disons A, composée des éléments qui n’appartiennent pas à la partie qui leur est coordonnée. Cette partie A est elle-même coordonnée à un élément de l’ensemble initial, disons e. Demandons si l’élément e appartient à la partie A qui lui est coordonnée. Il suffit de reconduire le raisonnement de Russell pour produire une contradiction. Notre hypothèse est donc fausse. On ne peut pas coordonner terme à terme les parties et les éléments d’un ensemble. Les parties sont plus nombreuses que les éléments : l’ensemble des parties d’un ensemble a une puissance supérieure à cet ensemble.

10On peut tirer de ce théorème un autre résultat : qu’il existe des parties qui ne sont pas éléments de l’ensemble initial. Cela est évident dans l’ensemble des cuillères à thé. Une partie de l’ensemble des cuillères à thé, l’ensemble des cuillères à thé chinoises, n’est pas une cuillère à thé. Par conséquent, dans l’ensemble des cuillères à thé, une partie n’est pas un élément. Cependant, on pourrait tenter d’imaginer un ensemble, composé d’ensembles et non plus de cuillères à thé, dans lequel chaque partie soit aussi élément, un ensemble qui aurait pour élément ses propres parties. Le théorème du point d’excès montre que cela n’est pas possible, puisqu’il y a plus de parties que d’éléments dans un ensemble : il reste toujours des parties qui ne sont pas éléments de l’ensemble. « Aucun multiple n’est en état de faire un de tout ce qu’il inclut ».

  • 8  L’être et l’événement, op. cit., p.113.

11Les ensembles de la théorie des ensembles représentent, dans la terminologie de A. Badiou, des « situations ». Une situation est un divers d’éléments rassemblés en un ensemble et, en cela, comptés pour un. Les éléments sont « présentés » dans la situation. Mais, pour toute situation, il existe des parties qui sont incluses dans la situation, qui sont composées des éléments de la situation mais ne sont pas elles-mêmes éléments de la situation. Elles ne sont pas présentées dans la situation elle-même et prises dans ce compte pour un. Elles « in-existent à la situation et sont soustraites à l’un »8. Cependant, l’existence, assurée par un axiome explicite, d’un ensemble des parties garantit la présentation de ces parties et leur inscription dans le domaine de l’ontologie, parmi les multiplicités consistantes. L’ensemble des parties est ce que Badiou appelle « l’état de la situation » :

  • 9  L’être et l’événement, op. cit., p.114.

« Ainsi, se trouve colmatée la brèche par où l’errance du vide pouvait se fixer sur le multiple, dans le mode inconsistant d’une partie non comptée. Toute partie reçoit de l’état le sceau de l’un »9.

  • 10  L’être et l’événement, op. cit., p.122.
  • 11  L’être et l’événement, op. cit., p.124.
  • 12  L’être et l’événement, op. cit., p.127.

12Il reste à comprendre en quoi l’ensemble des parties correspond à l’état de la situation. C’est, dit A. Badiou, l’acquisition marxiste que d’avoir montré que l’Etat ne se rapportait pas aux individus mais aux classes que peuvent former les individus, c’est-à-dire non pas aux éléments de la situation mais à ses parties. Une situation historico-sociale est un ensemble d’éléments, individus, groupes. Mais l’Etat ne concerne jamais les individus en tant que tels. L’Etat ne concerne que les sous-ensembles, les multiples, que les individus constituent : multiples à plusieurs éléments, le prolétariat ou la bourgeoisie ; multiple à un seul élément. Le votant, par exemple, constitue un élément de l’Etat, une partie de la situation, composée d’un seul individu. L’Etat apparaît donc comme une structure assignant sa place à chacun des multiples que peuvent former les éléments d’une situation. « Son office est de qualifier une par une toutes les compositions de compositions de multiples dont la situation, c’est-à-dire une présentation historique déjà structurée, assure, pour ce qui est de ses termes, la consistance générale »10. Dans cette optique, une situation étant un ensemble d’éléments, l’Etat est l’ensemble des parties de l’ensemble-situation. Suivons les conséquences de cette identification de l’Etat dans l’ontologie mathématicienne. Avant tout, l’Etat est lié à la situation, en ce que ses propres éléments sont des multiples composés uniquement des éléments de la situation. L’Etat n’introduit aucun multiple dont les éléments seraient absents de la situation. Néanmoins, on sait, par le théorème du point d’excès, que l’Etat est un multiple distinct de la situation. S’il ordonne les parties que forment les éléments de la situation, c’est en fonction d’une loi, d’une opération propre et distincte des opérations qui structurent la situation elle-même. C’est dans cette séparation de l’Etat d’avec la situation que s’exprime la fonction coercitive de l’Etat : « Cette séparation définit la fonction coercitive, puisqu’elle se rapporte à la structuration immédiate des termes selon une loi qui vient d’ailleurs »11. On peut donner une typologie des éléments de l’Etat qui éclaire cette fonction coercitive. La situation peut présenter des éléments qui seront également des parties et, par conséquent, des éléments de l’Etat. La bourgeoisie serait un tel élément, présentée dans la situation et représentée dans l’Etat. Un tel terme est dit « normal ». D’autre part, un terme, le prolétariat, peut être élément de la situation sans en être une partie et, par suite, sans figurer en tant que tel dans le multiple qu’est l’Etat. Un tel terme est dit « singulier ». Enfin, par le théorème du point d’excès, on sait que l’Etat comporte des éléments, on sait qu’il existe des parties de la situation, qui ne sont pas éléments de la situation. L’Etat introduit des multiples qui ne figurent pas dans la situation bien qu’ils soient composés des éléments de la situation. Ce sont ce que Badiou appelle des « excroissances » et qu’il rapproche de celles que Engels repère dans la machinerie bureaucratique et militaire. L’appareil bureaucratique n’apparaît qu’au niveau de l’Etat et, bien qu’il soit composé des éléments de la situation, il n’est pas présenté lui-même dans la situation. Cependant, l’ontologie mathématicienne, dans l’interprétation qu’en fait A. Badiou, révèle alors l’ambivalence de l’analyse marxiste. En effet, Engels semble tenir l’excès de l’Etat, c’est-à-dire l’existence d’excroissances, pour une particularité de la situation historique. Il suffirait de modifier la situation pour voir disparaître l’Etat et ses excroissances, bureaucratiques et militaires, ce qui engage un programme politique tourné contre l’Etat et vers sa suppression révolutionnaire. Mais un tel programme fait erreur sur la nature de l’excès de l’Etat, qui tient d’un théorème universel et non des particularités de la situation. Pour toute situation, il existe un Etat avec des excroissances. Ce n’est pas vers l’Etat, pas même contre l’Etat, que doit être tournée la politique : « Le chemin du changement politique, je veux dire de la radicalité justicière, s’il a l’Etat toujours aux abords de son parcours, ne peut d’aucune façon se tracer à partir de lui, car l’Etat n’est justement pas politique, en ceci qu’il ne saurait changer sinon de mains. »12

13L’ontologie mathématicienne, telle que A. Badiou la comprend, confirme la description de l’Etat que donne le marxisme classique mais engage à une révision de son programme politique. Celle-ci dépend d’une question laissée en suspens : celle de savoir s’il est possible de quantifier l’excès de l’état par rapport à la situation. L’état excède la situation, c’est un théorème, mais peut-on mesurer, calculer ou prévoir cet excès ? Pour tenter une telle mesure, dans l’univers des ensembles, les mathématiciens utilisent les nombres ordinaux. Les nombres ordinaux sont définis à partir du vide par cette clause que chacun est l’ensemble des nombres qui le précèdent. On part du vide, disons :  

140 = ,

15puis

16 1 = {0} = {},

17 2 = {0, 1} = {, {}},

18 3 = {0, 1, 2} = {, {}, {, {}}}, etc.

19La même clause permet de dépasser le fini, pour former le premier ordinal transfini :

20ω = {0, 1, 2, …},

21qui sera suivi de  

22ω + 1 = {0, 1, 2, …, ω}, etc.

  • 13  L’être et l’événement, op. cit., p.306-307.

23Les nombres ordinaux constituent une sorte d’échelle, comportant différents infinis et sur laquelle on peut mesurer les ensembles de l’ontologie. Soit une situation dénombrable, que l’on identifie à l’ensemble des entiers {0, 1, 2, …}, la question est de savoir où placer sur l’échelle des infinis l’état de cette situation, l’ensemble de ses parties. Grossièrement, c’est le problème du continu. Or la réponse qu’apportent en deux temps Gödel, en 1938, et P. Cohen en 1963, est que l’ensemble des parties de l’ensemble des entiers, le continu ou l’état au sens de Badiou, a une place sur l’échelle des infinis dessinée par les nombres ordinaux mais que l’on ne peut pas la déterminer. La place de l’état est indécidable. On pourra donc la fixer arbitrairement. Il y a une « errance de l’excès », « une dé-mesure de l’état d’une situation » : « [Cela] signifie que, si exacte que puisse être la connaissance quantitative d’une situation, on ne peut, sinon par une décision arbitraire, estimer de combien son état l’excède. […] L’action reçoit de l’ontologie l’avertissement que c’est en vain qu’elle s’efforcerait de calculer au plus juste l’état de la situation où elle dispose ses ressorts. […] L’état n’est commensurable à la situation que par hasard »13.

  • 14  Je renvoie à mon Gödel, Paris, Les Belles Lettres, 2004, Chapitre V.
  • 15  L’être et l’événement, op. cit., p.322.
  • 16  L’être et l’événement, op. cit., p.325.

24Il faut évoquer la démonstration de cette indécidabilité, qui signifie l’impossibilité de mesurer l’excès de l’état par rapport à la situation, car elle illustre deux orientations antithétiques de la pensée contemporaine. L’hypothèse de Cantor était que l’ensemble des parties de l’ensemble des entiers, le continu, a pour puissance le premier infini qui suit l’ensemble des entiers. Gödel démontre que cette proposition n’est pas contradictoire avec les axiomes de la théorie des ensembles. Pour cela, il élabore un modèle, un système d’objets vérifiant les axiomes de la théorie des ensembles et l’hypothèse du continu. Dans ce modèle, on ne reconnaît comme parties d’un ensemble, que celles qui se laissent construire dans une sorte de hiérarchie et, finalement, qui se laissent caractériser par une propriété dans une langue bien faite et selon des étapes bien fixées14. A. Badiou remarque que le constructivisme de Gödel réactualise le principe des indiscernables. On exige que chaque élément de l’ensemble des parties puisse être distingué par une propriété énoncée dans une langue bien faite (et, en l’occurrence, comportant un vocabulaire infini). Cette orientation interdit « les conglomérats hasardeux, les multiples indistincts ou quelconques »15. Elle se place dans l’ordre du savoir, le savoir désignant cette capacité à inscrire les êtres dans des dénominations réglées. « Le principe des indiscernables, qui est son axiome central, revient à ceci que ce qui n’est pas susceptible d’être classé dans un savoir n’est pas.[…]. La pensée constructive avance par étapes sous le contrôle des connexions formulables, proposant ainsi un savoir de l’être. »16

25Dans la perspective de A. Badiou, le résultat de P. Cohen apparaît obéir à une inspiration contraire à celui de Gödel. En effet, Gödel établit que l’on peut déterminer l’excès de l’état, la puissance du continu, en exigeant que chaque partie d’un ensemble soit distinguée par une propriété énoncée dans une langue bien faite. P. Cohen établit que la puissance du continu, l’excès de l’état, n’est pas déterminée en soi et, pour cela, construit des modèles de la théorie au moyen d’ensembles « génériques », qui ont pour particularité de ne pas pouvoir être distingués, séparés au moyen d’une propriété explicite. On peut les dire « indiscernables » au sens que refuse le principe, leibnizien et gödelien, des indiscernables, bien que, dans les deux constructions, « la langue » dans laquelle sont énoncées les propriétés qui doivent distinguer, « discerner » les ensembles, ne soit pas la même.

  • 17  L’être et l’événement, op. cit., p.387.
  • 18  L’être et l’événement, op. cit., p.445.

26Je passerai plus vite sur la dernière partie de L’être et l’événement. A. Badiou donne un triple rôle à la notion de partie générique. Premièrement, la partie générique est liée à l’idée de vérité. Les propriétés énoncées dans la langue de la théorie constituent ce que l’on peut considérer comme un « savoir » : une encyclopédie qui permet de distinguer, de classer les ensembles de l’ontologie. Mais la vérité, dans le dispositif de A. Badiou, suit d’un événement, extérieur à l’ontologie, et, par conséquent, doit échapper à ce savoir. La vérité, puisqu’elle fait « trou dans le savoir », sera représentée comme un ensemble générique, indiscernable au moyen du « savoir ». Deuxièmement, A. Badiou rapproche la notion d’ensemble générique du concept de volonté générale dans le texte de Rousseau. En effet, le propre de la volonté générale est qu’elle est indépendante de tout intérêt particulier. Or un intérêt particulier s’exprimera dans une propriété explicitée, un énoncé dans la langue. Une classe, corrélative d’un intérêt particulier, sera donc une partie discernable de la situation, séparable par une propriété explicite, récupérable dans le savoir. Et, à l’inverse, la volonté générale ne peut se représenter que dans une partie générique, qui échappe à toute détermination explicite : « la politique ne trouve sa vérité que dans une partie générique du peuple, toute partie discernable exprimant un intérêt particulier »17. Troisièmement, le résultat de P. Cohen est que l’hypothèse du continu est indécidable et, dans les termes de A. Badiou, que l’excès étatique reste errant. Le cardinal du continu dépend du modèle que l’on donne à la théorie, et de l’ensemble générique que l’on choisit pour la constitution de ce modèle. On dira, en reprenant des termes mathématiques, que la « puissance » de l’état est « forcée » par les « conditions » d’une partie indiscernable. A. Badiou voit dans ce forçage, qui décide de l’hypothèse du continu et fixe l’excès étatique, un indice de l’action d’un sujet. Au fond, si l’hypothèse du continu est indécidable dans la théorie, le cardinal attribué au continu, la puissance attribuée à l’état, dépend d’une décision subjective qui s’exprime par le choix d’un ensemble générique pour la constitution d’un modèle. Le sujet est « ce qui décide un indécidable du point d’un indiscernable »18. Apparemment, l’analyse que propose A. Badiou de la volonté générale, avec les difficultés liées à la notion de majorité, dans Du contrat social, trouve sa fin dans cette théorie du sujet : dans l’idée d’un sujet, qui, élément d’une partie indiscernable et, autrement dit, de la volonté générale, force un énoncé et détermine la puissance de l’état. En définitive, l’excès de l’état par rapport à la situation exige la position d’un sujet.

273. C’est sur ces analyses que s’achève L’être et l’événement. Mais je voudrais revenir sur le parcours que j’ai tenté de retracer. A. Badiou détermine la théorie des ensembles comme ontologie. Il s’agit alors de dégager la portée des énoncés mathématiques, de façon à ouvrir un cadre conceptuel dans lequel pourront être situées ensemble ces quatre procédures que sont l’amour, l’art, la politique et la science elle-même. Pour cela, il faut pouvoir identifier, par leur structure identique, les termes, qui sont donnés dans les procédures de l’amour, de l’art, de la politique, à des ensembles de la théorie des ensembles. Ainsi, l’état, donc l’Etat, d’une situation donnée est identifié à l’ensemble des parties d’un ensemble donné. Après cette identification, il suffit de suivre les enchaînements mathématiques et de reformuler les énoncés qui se rapportent aux ensembles isolés pour les appliquer aux termes correspondant de l’amour, de l’art et de la politique. Le théorème de Cantor, qui affirme que l’ensemble des parties d’un ensemble a une puissance supérieure à cet ensemble, révèle d’abord un excès de l’état par rapport à la situation. L’indécidabilité de l’hypothèse du continu révèle ensuite « l’errance » de l’excès étatique, qui ne peut pas être calculé à partir de la situation mais ne se fixe que dans une décision, laquelle pointe vers un sujet.  

28A. Badiou fait d’abord des mathématiques une ontologie, identifie ensuite les termes de la politique, de l’art ou de l’amour à certains ensembles et, enfin, suit les résultats de la théorie des ensembles pour les appliquer aux termes correspondants de la politique, de l’amour ou de l’art. Chacun de ces trois moments peut être discuté de façon critique.  Premièrement, on peut se placer au niveau des principes et critiquer la décision d’interpréter la théorie des ensembles comme une ontologie. Deuxièmement, on peut se placer au point où les procédures de la politique, de l’amour, de l’art sont rattachées à l’ontologie mathématicienne et critiquer l’identification de leurs termes à des ensembles de la théorie des ensembles, l’identification de l’Etat à l’ensemble des parties, par exemple. Enfin, on peut se placer dans l’ontologie elle-même et critiquer la théorie mathématique que Badiou utilise, ses modes de raisonnements ou ses axiomes.

29Je crois qu’une discussion sur le premier point n’aurait pas d’intérêt ici. C’est une position adoptée depuis l’origine de la théorie des ensembles que de la considérer comme une ontologie au sens où le veut Badiou. Les ensembles sont alors des multiples, des collections d’éléments indéterminés, qui ont pour seule propriété de pouvoir être pensés ensemble ou, dans les mots de Badiou, comptés pour un. Les théorèmes obtenus sont alors des propriétés générales qui s’appliquent à tout multiple, possédant cette propriété de pouvoir être pensé comme « un ». C’est la position de Cantor lui-même, de Gödel également, et elle n’est pas propre à A. Badiou.

30Le deuxième moment, celui de l’identification des termes de la politique à certains ensembles, est sans doute plus délicat. Avant tout, pour que cette transposition ait un intérêt, il faut admettre que les termes de la politique sont des ensembles infinis (sans quoi les théorèmes invoqués deviennent triviaux et l’appareil conceptuel de L’être et l’événement inutile). Pourtant, les classes dont est composé l’état ou qui participent à l’événement sont à chaque époque finies. Manifestement, il n’y a dans une situation donnée qu’un nombre fini d’ouvriers, de paysans ou de bourgeois. Cependant, dans la perspective de A. Badiou, les vérités de la politique ne se révèlent comme telles qu’à l’issue d’un processus, à l’horizon si l’on veut, ce qui met alors en jeu des ensembles infinis. Acceptons donc cet infini de la politique, d’autres questions se posent quant aux identifications que tente A. Badiou. Un événement est-il un multiple (c’est-à-dire une collection d’éléments pensés ensemble ou comptés pour un), qui appartient à lui-même ? L’Etat dont dépend une situation, l’Etat dont dépend la situation historique actuelle, peut-il être identifié à l’ensemble des parties de ce multiple qu’est la situation ? On pourrait refuser ces identifications. Néanmoins, si l’on accepte que la théorie des ensembles est une ontologie, il faudrait dire mieux que A. Badiou quelle sorte de multiple est l’Etat de la situation, ou expliquer pourquoi l’Etat d’une situation n’est pas un multiple (c’est-à-dire, à nouveau, une collection d’éléments qui peuvent être pensés ensemble sans contradiction). En fait, les identifications que tente Badiou ouvrent un espace conceptuel, pour penser la politique, l’art, l’amour, un espace conceptuel, qui est impressionnant par sa cohérence, son ampleur, et dont on connaît peu d’équivalent.

31Je ne discuterai donc que du troisième point et du choix que fait A. Badiou d’accepter comme constituant la théorie des ensembles, l’ontologie, certains axiomes et certaines formes de raisonnements. A. Badiou utilise les raisonnements classiques que les intuitionistes critiqueraient. Il utilise certains axiomes, l’axiome du choix, l’axiome de fondation que l’on peut refuser. En particulier, la proposition que l’événement, en tant qu’un multiple qui appartient à lui-même, est exclu de l’ontologie et placé dans le « ce qui n’est pas l’être en tant qu’être », dépend de ce que l’on accepte l’axiome de fondation. Mais on a pu tenter de faire de la théorie des ensembles sans l’axiome de fondation, ce qui permettrait d’inclure l’événement dans le domaine de la théorie des ensembles et dans le domaine de l’être en tant qu’être. Finalement, on pourrait demander pourquoi, au lieu d’accepter l’axiome de fondation et de rejeter l’événement hors de l’ontologie, ne pas refuser l’axiome de fondation et tenter une ontologie de l’événement. C’est peut-être du reste ce que se propose maintenant A. Badiou avec la théorie des topoï.

32Néanmoins, il faut reconnaître que, dans le dispositif qu’il met en place, A. Badiou peut s’autoriser à ne pas justifier le choix de ses axiomes. Ce choix relève d’une décision, « d’une fidélité à un événement » (l’événement des travaux de Cantor ou de Zermelo). Or la dernière partie de L’être et l’événement explique que la fidélité à l’événement engage une production de vérités mais que celles-ci ne se révèlent telles qu’à l’infini, de sorte que nous ne pourrons jamais les vérifier. Sans doute, A. Badiou ne peut pas fonder ses axiomes et établir qu’ils constituent des propositions vraies de l’ontologie du multiple. Mais, dans la perspective qu’il met en place, cette fondation n’est pas nécessaire. Il faut seulement rester fidèle à l’événement des travaux de Cantor et poursuivre une procédure dont on pense qu’elle est productrice de vérités, sans pouvoir jamais l’établir.  La difficulté de la position de A. Badiou, à mes yeux, est plutôt qu’elle amène à décréter une hétérogénéité radicale entre une théorie des ensembles, qui est déclarée être de l’ontologie, et des théories adjacentes qui sont déclarées ne pas être de l’ontologie. La théorie des ensembles qui est l’ontologie, c’est-à-dire la théorie classique avec les axiomes disons de von Neumann, apparaît comme une discipline hétérogène à des théories des ensembles, théorie intuitioniste, théorie sans l’axiome du choix, sans l’axiome de fondation, qui ne sont pas de l’ontologie. La question est de savoir si l’on peut trancher dans le corps mathématique, pour isoler une théorie, de son devenir comme des théories adjacentes.  

  • 19  Conditions, Paris, Seuil, 1992, p.158. Il y aussi un texte sur Cavaillès dans l’Abrégé de métapoli (...)
  • 20  Notamment, « Transfini et continu », dans Œuvres complètes de philosophie des sciences, Paris, Her (...)
  • 21  Cavaillès, Sur la logique et la théorie de la science, p.78, dans Œuvres complètes de philosophie (...)

33Je voudrais, pour illustrer ce point, comparer la position de A. Badiou à celle de Cavaillès. Si Cavaillès ne détermine pas les mathématiques comme ontologie au sens de A. Badiou, il aboutit à une problématique proche, ce que, du reste, A. Badiou note dans un article du volume Conditions19. Pour le dire en quelques mots, Cavaillès inverse les relations que les philosophies transcendantales, la phénoménologie husserlienne en particulier, posent entre le sujet et les mathématiques. Ce n’est pas le sujet mathématicien qui constitue les objets mathématiques et qui réalise le progrès mathématique. Les mathématiques sont un mouvement autonome, un devenir sui generis, qui se fait de lui-même. Et, à l’inverse, c’est le devenir mathématique qui constitue un sujet mathématicien. S’inspirant de la notion spinoziste d’idée de l’idée et la faisant jouer contre les philosophies transcendantales, Cavaillès identifie le sujet mathématicien à un système d’opérations et d’objets qui se constituent dans le devenir mathématique. Ainsi, alors que Kant trouve le fondement des jugements mathématiques dans des formes de l’intuition, l’espace et le temps, inhérentes à la sensibilité du sujet transcendantal, Cavaillès rétorque que les formes dans lesquelles se réalisent l’opération arithmétique et la construction géométrique, ne sont pas données dans le sujet mais constituées dans le devenir mathématique. Cavaillès renverse la perspective kantienne et, au lieu de fonder les mathématiques sur le sujet, détermine le sujet au moyen des mathématiques20. Or, en interprétant les mathématiques comme une ontologie, A. Badiou retrouve cette problématique, qu’il résume très clairement en deux phrases : « Par un renversement de la question kantienne, il ne s’agissait plus de demander : ‘Comment la mathématique pure est-elle possible ?’ et de répondre : grâce au sujet transcendantal. Mais bien plutôt : la mathématique pure étant science de l’être, comment un sujet est-il possible ? » Pourtant, sitôt cette question posée, A. Badiou se sépare de Cavaillès. En effet, Cavaillès considère que les théories mathématiques forment un tout solidaire, dans leur devenir et dans leur état contemporain. Une théorie ne se laisse penser et on ne peut effectuer ses opérations, concevoir ses objets qu’en les replaçant dans un devenir et au milieu du système des théories contemporaines, avec ses théories rivales, une théorie des ensembles avec ou sans l’axiome de fondation, une mathématique classique et une mathématique intuitioniste. Ces théories donnent au sujet comme à l’être auquel elles se rapportent des déterminations contradictoires. Cavaillès est donc amené à penser un éclatement de la conscience et de l’être, de la chose mathématique en quelque sorte.  C’est pourquoi, pour Cavaillès, « le terme de conscience ne comporte pas d’univocité d’application – pas plus que la chose d’unité isolable »21. A l’inverse, pour maintenir un concept consistant de l’être en tant qu’être, pour maintenir une science unique de l’être en tant qu’être, A. Badiou semble devoir séparer la théorie des ensembles qu’il utilise, du devenir mathématique et des théories adjacentes. La question serait de savoir s’il est possible d’isoler, de cette façon, une théorie des ensembles dans le corps mathématique.

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Notes

1  Une première version de ce travail a été présentée lors d’une journée consacrée à la philosophie de A. Badiou organisée par Jean-Clet Martin au Collège International de Philosophie en 2003.

2  Manifeste pour la philosophie, Paris, Seuil, 1989, p.41.

3  Manifeste pour la philosophie, op. cit., p.88.

4  L’être et l’événement, Paris, Seuil, 1988, p.201.

5  L’être et l’événement, op. cit., p.212.

6  L’être et l’événement, op. cit., p.51.

7  L’être et l’événement, op. cit., p.58.

8  L’être et l’événement, op. cit., p.113.

9  L’être et l’événement, op. cit., p.114.

10  L’être et l’événement, op. cit., p.122.

11  L’être et l’événement, op. cit., p.124.

12  L’être et l’événement, op. cit., p.127.

13  L’être et l’événement, op. cit., p.306-307.

14  Je renvoie à mon Gödel, Paris, Les Belles Lettres, 2004, Chapitre V.

15  L’être et l’événement, op. cit., p.322.

16  L’être et l’événement, op. cit., p.325.

17  L’être et l’événement, op. cit., p.387.

18  L’être et l’événement, op. cit., p.445.

19  Conditions, Paris, Seuil, 1992, p.158. Il y aussi un texte sur Cavaillès dans l’Abrégé de métapolitique, Paris, Seuil, 1998.

20  Notamment, « Transfini et continu », dans Œuvres complètes de philosophie des sciences, Paris, Hermann, 1994. Je n’ai pas la place ici de développer la position de Cavaillès et ne peux que renvoyer à De l’experience mathématique, Paris, Vrin, 2001, Chapitre IV.

21  Cavaillès, Sur la logique et la théorie de la science, p.78, dans Œuvres complètes de philosophie des sciences, Paris, Hermann, 1994.

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Pour citer cet article

Référence électronique

Pierre Cassou-Noguès, « L’excès de l’état par rapport à la situation dans L’être et l’événement de A. Badiou », Methodos [En ligne], 6 | 2006, mis en ligne le 03 mai 2006, consulté le 26 mars 2017. URL : http://methodos.revues.org/548 ; DOI : 10.4000/methodos.548

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Auteur

Pierre Cassou-Noguès

CNRS, UMR 8163, Université Lille 3

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