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Analyses et interprétations

Signification et vérité dans les écrits philosophico-mathématiques de Jacob Klein

Meaning and Truth in Klein’s Philosophico-Mathematical Writings
Burt C. Hopkins
Traduction de Carlos Lobo

Résumés

La manière dont Jacob Klein rend compte de l’historicité propre aux unités de base de la signification dans la pensée de la Grèce ancienne ainsi que de l’Europe moderne est présentée et étudiée en relation au « sens de l'être » dans la pensée phénoménologique heideggerienne et à la conception husserlienne  de la signification ontologique instrumentale du calcul symbolique. Sur le fond des reconstructions kleiniennes des nombres éidétiques dans le Sophiste de Platon et de l’ontologie cartésienne des objets mathématiques indéterminés, deux affirmations se trouvent avancées, à savoir (1) que la composition « artithmologique » de l'être dans le Sophiste de Platon représente un défi par rapport au caractère prétendument fondamental du « sens » dans l’historicité heideggerienne de l’être et  (2) que la constitution de la conceptualité propre aux unités de base du calcul symbolique excède celle de la conception husserlienne de leur « simple » instrumentalité.

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Notes de la rédaction

Traduit de l’américain par Carlos Lobo.

Notes de l’auteur

Ce texte traduit l’article « Meaning and Truth in Klein’s Philosophico-Mathematical Writings », The St. John’s Review, vol. 48, n°. 3, 2005, p. 57-87, [NdT].

Texte intégral

  • 1 Jacob Klein et Leo Strauss «  A Giving of Accounts : Jacob Klein et Leo Strauss », The College, a (...)
  • 2 Jacob Klein, « Speech, Its Strength and Its Weaknesses », dans Id., Lectures and Essays, Annapoli (...)
  • 3 Jacob Klein, « Modern Rationalism », in Essays, p. 53-64, en l’occurrence p. 64 [Cité ci-dessous (...)
  • 4 Ibidem.

1Jacob Klein passa un temps important à étudier les philosophies phénoménologiques d’Edmund Husserl et de Martin Heidegger. Il attribuait à l’un et à l’autre beaucoup de qualités : Heidegger, aux dires mêmes de Klein, était « le premier homme qui me fit comprendre quelque chose écrit par un autre homme, à savoir Aristote1 » ; et Husserl, toujours aux dires de Klein, « a signalé (…) une propriété du discours auquel les anciens ne prêtèrent pas une attention suffisante2 », une propriété que Husserl et que Klein après Husserl, nomma « sédimentation ». Ces deux caractéristiques mises en exergue par Klein prennent acte de l’engagement thématique respectif des deux penseurs vis-à-vis des concepts de signification et de vérité. Il est par conséquent pour le moins curieux que Klein ne traite jamais aucun de ces concepts de manière thématique dans ses écrits et, compte tenu de l’apposition des philosophies de Heidegger et de Husserl à sa propre pensée, il est légitime de se demander et de rechercher pourquoi il en est ainsi. J’ajouterais volontiers que ce qui me conduit à m’interroger, ce n’est pas seulement une curiosité d’érudit, mais aussi la nature de la relation entre les deux problèmes les plus fondamentaux posés par les écrits de Klein, à savoir : comment comprendre les conceptualités radicalement différentes qui déterminent la signification et la vérité des concepts les plus fondamentaux appartenant respectivement à la science grecque ancienne et à la science moderne européenne ? Comment surmonter ce que Klein a, une fois, désigné comme l’« irréalité symbolique3 », caractéristique de « l’idée moderne de la connaissance et de la science4 » ?

  • 5 Bien qu’il le situe [parfois] à une période antérieure, par exemple, lorsqu’il affirme en 1970 qu (...)

2Dire que signification et vérité ne sont pas thématiquement traitées en tant que concepts dans les écrits de Klein ne revient donc pas à dire qu’on ne peut pas trouver dans ses écrits des discussions portant sur la signification des choses ou le concept de leur vérité. Après tout, Klein, plus qu’aucun autre penseur du vingtième siècle, a écrit au sujet de la signification de l’ancien concept grec de nombre, et a, de fait, comparé et opposé cette signification du concept à la signification du concept moderne de nombre. En outre, Klein, plus qu’aucun autre penseur du vingtième siècle, a écrit au sujet du changement fondamental dans la relation de la science à la vérité qui s’est produit lorsque, dans un processus qu’il situe au début du seizième siècle5, l’ancienne signification du concept de nombre fut transformée en la signification moderne. Mais cela veut bien dire que Klein n’écrit jamais au sujet de la signification et de la vérité en tant que concepts — au sujet de ce que les philosophes professionnels contemporains nommeraient « les concepts de signification et de vérité » —, ni ne se demande quels concepts de signification et de vérité valident ou, si l’on veut, justifient les affirmations qu’il avance au sujet des différentes conceptualités de la science grecque ancienne et de la science européenne moderne.

  • 6 Jacob Klein, Platos Trilogy, Chicago, University of Chicago Press, 1977, p. 2 [Cité ci-dessous co (...)
  • 7 Jacob Klein, Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra, trad. angl. par E. Brann, Camb (...)
  • 8 Jacob Klein, « The Concept of Number in Greek Mathematics and Philosophy », in Essays, op. cit. p (...)

3Il y a peut-être une explication toute prête à cela, à savoir que Klein n’avait guère de goût pour ce qu’il nomme le « “jargon” philosophique moderne6 » et qu’il cherchait par conséquent à l’éviter autant que possible. Parler des concepts de « signification » et de « vérité » eût passé aux yeux de Klein (même dans le cas de penseurs de la stature de Husserl et Heidegger) comme une manière de tomber dans les pièges d’un tel jargon, car se préoccuper des concepts per se est justement une caractéristique de la modernité – telle est la thèse centrale de son opus magnum, La Pensée mathématique grecque et l’origine de l’algèbre7. En outre, si ce n’est dans son œuvre, du moins certainement dans ses leçons et essais ultérieurs, une telle préoccupation est considérée comme une erreur philosophique. Ainsi, dans la leçon donnée en 1939, Klein dit qu’« il est douteux que la philosophie existe aujourd’hui8 », et il suggère explicitement que la raison en est que « toute notre vie et nos pensées sont modelées » par l’existence d’une science qui est indubitable, à savoir, « la physique mathématique ». Et parce que, selon les termes de Klein, « le medium de la physique mathématique, ou plutôt son cœur même, est la mathématique symbolique », et parce que, de plus, ce cœur (selon son Math Book) n’est rendu possible que grâce à des concepts qui se réfèrent seulement à d’autres concepts et non pas à des objets individuels auxquels, en tant que concepts, ils devraient proprement et légitimement se référer, la préoccupation presque exclusive de la « philosophie » contemporaine pour de tels concepts per se ne mérite pas, selon lui, le titre de philosophie.

  • 9 Math Book, op. cit. p. 9.
  • 10 « Rationalisme Moderne », op. cit. p. 63.

4A suivre cette explication, la tentative d’explorer les concepts de signification et de vérité dans les écrits de Klein — spécialement dans ses écrits philosophico-mathématiques, c’est-à-dire ses écrits sur l’histoire de la philosophie des mathématiques aussi bien que l’histoire des mathématiques elles-mêmes — serait vouée à l’échec si elle se laissait guider par ces mêmes concepts de signification et de vérité dont ces écrits démontrent qu’ils sont des sous-produits dérivés de la conscience « scientifique » moderne9. Selon Klein, ces concepts sont des « abstractions d’abstractions (…) que nous interprétons en même temps comme étant en contact direct avec le monde10 ». Ils conviennent difficilement lorsqu’on cherche à prendre la mesure de la pensée d’un penseur — exception faite de celle de Klein, de tous les penseurs. Klein a mis en évidence quelque chose que même Husserl et Heidegger n’ont pas vu, à savoir que la signification des concepts aussi bien que la signification de la vérité ont subi, dans la pensée moderne, une mutation radicale et irréversible de leur « signification » ancienne et classique. Par conséquent, pour étudier convenablement la signification et la vérité dans les écrits de Klein sur la philosophie des mathématiques, on devrait — du moins selon cette ligne de pensée — commencer par comparer le statut de la signification et de la vérité dans les écrits de Klein avec leur statut dans ceux de Husserl et de Heidegger.

  • 11 « Discours », op. cit. p. 374. Il le cite nommément dans « Comptes », qui est, cependant, la tran (...)
  • 12 Jacob Klein, « Aristotle, an Introduction », in Essays, op. cit. p. 171-195, en l’occurrence p. 1 (...)

5Même si, à ma connaissance, Klein ne mentionne nommément Heidegger qu’une seule fois dans ses écrits11, et qu’il s’y réfère encore une fois sans mentionner son nom12, il n’est néanmoins pas exagéré de dire qu’en un certain sens, toute la pensée de Klein est marquée par une critique profonde d’un aspect fondamental de la philosophie de Heidegger. Klein critique en particulier l’interprétation heideggerienne de Platon et le rôle que cette interprétation joue dans la critique heideggerienne d’Aristote, et puis, procédant de cette critique, le compte rendu de la continuité de la pensée métaphysique des anciens philosophes grecs aux philosophes contemporains du vingtième siècle. Heidegger soutient que la philosophie de Platon est guidée par une présupposition inaperçue au sujet de l’être des étants, à savoir que sa signification est déterminée par une connaissance statique de ce qu’ils sont, et que cette connaissance recèle en elle la présupposition tout aussi inaperçue que, inséparables de la manière dont ils sont, sous les espèces de leurs « aspects » (eidos),  ils sont constamment disponibles pour le logos de toute âme qui se soucie de les regarder.

  • 13 « Comptes »,  op. cit. p. 3.
  • 14 Martin Heidegger, Plato’s Sophist, tr. angl. par R. Rojcewicz et A. Schuwer, Bloomington, Indiana (...)

6Avec ces seules références à Heidegger dans tous ses écrits (dont aucune, d’ailleurs, n’engage directement l’interprétation heideggerienne de Platon), ce que j’avance d’une relation critique de la pensée de Klein à celle de Heidegger pourra paraître à certains sans fondement. Pourtant, les considérations suivantes devraient écarter tout doute à ce sujet. En 1925, Heidegger a donné une série de leçons sur le Sophiste de Platon, publiées peu après sa mort dans un volume qui prend appui sur ses notes et celles de ses étudiants, et auxquelles, selon les listes d’inscriptions de l’Université de Marbourg, Klein a assisté (Léo Strauss a raconté que, en 1925, Klein a assisté régulièrement aux cours de Heidegger13.) Vers la fin de ces leçons, Heidegger a ceci à dire au sujet de 253d5-e2 du Sophiste : « J’avoue que je ne comprends proprement rien de ce passage et que les énoncés pris un à un ne me sont nullement devenus clairs, même après un long examen14. » Heidegger poursuit en énumérant ce qu’il n’a pas compris :

  • (1) Mian idean dia pollôn […] diaisthanetai (d5 sq.), le dialecticien « voit une idée à travers plusieurs », une déterminité d’étants dans sa présence en plusieurs, dont henous ekastou keimenou chôris (d6), « chacune se tient séparée des autres », de telle sorte que cette idée, qui est vue à travers toutes les autres, pantê diatetamenên (d6), soit étendue et disposée de tous côtés.

  • (2) […] kai pollas heteras allelôn (d7), le dialecticien voit plusieurs idées, qui diffèrent les unes des autres substantiellement — ceci est partiellement compréhensible — mais Platon ajoute alors : hupo mias exôthen periechomenas (d7 sq.), « elles sont enveloppées de l’extérieur par une idée une ».

  • (3) kai mian au di’olôn pollôn en heni sunêmmenên (d8sq.), le dialecticien voit « que l’idée une est à son tour rassemblée en une à travers plusieurs touts ».

    • 15 Ibid.

     (4) kai pollas chôris pantê diôrismenas (d9), le dialecticien voit « que plusieurs idées sont totalement séparées les unes des autres15 ».

  • 16 Ibid, p. 366.
  • 17 Ibidem.

7Heidegger mentionne et rejette l’interprétation traditionnelle, qui « a été facilitée par l’introduction d’une distinction entre genre et eidos, genus et species16», parce qu’elle se fonde sur un « procédé injustifiable, puisque Platon précisément ne fait pas usage d’une telle distinction ». Aussi Heidegger conclut-il : « ainsi demeure en fait complètement obscur ce qui est signifié par ce mian au di’olôn pollôn en heni sunêmmenên [une idée une est à son tour rassemblée en une à travers plusieurs touts], et en outre, par  hupo mias exôthen periechomenas [elles sont enveloppées de l’extérieur par une idée une] et surtout par le keimenou chôris [se tient séparée] à l’intérieur de l’unité d’une idée »17.

8Le fait que Klein ait fait partie de l’assistance au moment où Heidegger proférait ces mots (ou du moins en ait été averti par d’autres qui les avaient entendus) ne décide rien, bien sûr, concernant la relation de sa pensée à celle de Heidegger. Cependant, le fait que le sommet de la première moitié du Math Book de Klein, chapitre 7c, comporte une interprétation détaillée de ce que Heidegger avoue précisément être « complètement obscur » dans le Sophiste permet de trancher effectivement au sujet de cette relation. Dans ce chapitre, Klein présente une interprétation du dialogue entre l’Étranger et Théétète au sujet de la division des intelligibles qui vise précisément la thèse heideggérienne de la continuité propre au sens supposé non questionné de l’être des étants dans la tradition métaphysique, une continuité qui, commençant par Platon, est censée penser, aveuglément, que l’être est l’être présent au logos — dans la connaissance — des étants. En effet, il n’y a aucun doute à ce sujet : le cœur du chapitre de Klein dans le Math Book propose une interprétation de la deuxième directive du Sophiste concernant la division des intelligibles, c’est-à-dire la directive concernant différentes idées enveloppées du dehors par une idée une, ce qui montre qu’« être » n’est pas tenu ici pour quelque chose de présent au logos dans la connaissance des étants. En outre, le Math Book de Klein dans son ensemble montre que, plutôt qu’une continuité, il y a une discontinuité radicale entre la manière dont l’être est compris par Platon et par Aristote et la manière dont il est compris dans la philosophie moderne.

  • 18 Les travaux de K. Kaiser, J. N. Findlay et H.J. Krämer sur la « doctrine non écrite » de Platon, (...)
  • 19 Math Book, op. cit. p. 62 (je souligne).
  • 20 Ibidem.

9Le Math Book de Klein établit son interprétation des directives de l’Étranger au sujet de la division en prenant en compte les références d’Aristote à la théorie platonicienne des « nombres eidétiques » (arithmoi eidetikoi), spécialement son récit selon lequel Platon attribuait un mode numérique d’être aux eidê qui, sur un point essentiel, est distinct du mode d’être des nombres mathématiques. Alors que d’autres, avant Klein, avaient admis la thèse de la relation entre mathématique grecque et philosophie grecque, qui est si importante pour la formation des concepts mathématiques aussi bien que philosophiques, aussi bien en général que dans le cas particulier de la philosophie de Platon (les plus notables en sont Julius Stentzel, J. Cook Wilson et Oskar Becker), Jacob Klein fut le premier penseur — et est resté le seul jusqu’à ce jour18 — à « tenter19 » de le faire depuis, selon ses propres termes, « l’intérieur de la structure du concept d’arithmos lui-même20 ». Les tentatives avant et après celle de Klein pour interpréter les exposés d’Aristote au sujet de « l’enseignement non écrit » de Platon, à savoir que les eidê sont en un certain sens des nombres, abordent la question des nombres depuis le niveau conceptuel des mathématiques modernes, c’est-à-dire depuis le concept symbolique moderne de nombre. La tentative de Klein, dans son effort pour aborder à la fois les mathématiques grecques et l’ontologie grecque à un niveau conceptuel qui ne présuppose pas les concepts de base des mathématiques modernes, est donc isolée.

10Ce à quoi Klein se réfère modestement dans son Math Book en tant que sa « tentative » de penser la relation entre mathématiques grecques et ontologie grecque depuis « l’intérieur de la structure du concept arithmos lui-même » est en fait un véritable tour de force philosophique, mathématique et historique qui couvre les anciens textes d’une part — la philosophie des néo-platoniciens et néo-pythagoriciens, platoniciens et aristotéliciens — et, d’autre part, les mathématiques et la philosophie du début de l’époque moderne, le point de jonction entre les deux s’opérant dans l’interprétation moderne de l’œuvre arithmétique de Diophante. Trois thèmes orientent les recherches historiques de Klein sur les mathématiques qui sont ici indissociables de sa philosophie : (1) le changement qu’a subit la signification du concept de nombre dans la transition des mathématiques grecques anciennes aux mathématiques modernes ; (2) ce qui a rendu ce changement possible ; et (3) le changement concomitant dans la conceptualité même des « objets » de la science et de la connaissance en général — dans la signification même de la science et de la vérité scientifique, de l’ancienne signification à la signification moderne.

  • 21 Ibid., p. 184.

11Ces thèmes, à tour de rôle, sont liés de façon intime lorsque Klein considère la similitude entre (1) la tentative platonicienne pour saisir la relation proportionnelle entre nombres dans les mathématiques et la relation analogique entre eidê dans l’ontologie en termes d’isomorphisme entre leur relation et la structure intime du concept d’arithmos lui-même ; et (2) l’interprétation moderne du calcul symbolique en tant que réalisation complète de l’ancienne théorie générale des proportions. Selon les termes de Klein, la tentative platonicienne et l’interprétation moderne « excèdent » toutes deux « les limites du logos21 » dans la mesure où précisément chacune assigne aux eidê, aux « concepts », des caractères numériques. Et cela veut dire ni plus ni moins que pour l’ancienne philosophie grecque, tout comme pour la philosophie contemporaine (pour autant qu’on puisse encore dire que la  « philosophie » existe), il y a une limite insurpassable à celle que le logos — le discours — peut rendre intelligible, et cette limite est atteinte lorsque les caractères numériques sont attribués à ce que les Grecs nommaient « eidê » ou « idées » et que les modernes (aussi bien les premiers, ceux qu’on appellent les pères de la modernité, que nous, leurs descendants contemporains) nomment « concepts généraux » ou « objets généraux ».

12La raison de tout cela est, selon Klein, relativement accessible, à savoir que les nombres à proprement parler se réfèrent à des objets individuels, c’est-à-dire à plus d’un d’entre eux ; les nombres se réfèrent donc à une « multitude » d’objets, et, en outre, à « combien » il y en a  exactement, tandis que les concepts (eidê) se réfèrent véritablement aux caractéristiques des nombres qui sont responsables de la délimitation exacte du « combien » inséparable de chaque nombre. Les nombres sont par conséquent plusieurs, et les concepts de nombres sont un – mais non pas un au sens où l’est chacun des multiples uns qui sont rassemblés par tout nombre, mais « un » au sens très différent de l’« unité ».De plus, même s’il y a  beaucoup de nombres responsables de la délimitation exacte de chaque nombre, par exemple, les deux concepts les plus importants de l’ « impair » et du « pair », chacun de ces concepts n’est pas lui-même multiple, mais un (au sens d’unité). Aussi est-il absurde d’assigner à chaque concept de nombre une caractéristique « numérique », plus spécialement la caractéristique d’être multiple, car s’il est vrai que les nombres forment intrinsèquement une multitude, ce n’est pas le cas des concepts de nombre. En outre, sont un au sens de l’unité non seulement les concepts de nombre, mais aussi tout concept relatif à l’être « multiple » de quelque chose — beaucoup de chevaux, beaucoup de philosophes, beaucoup d’émotions, etc. C’est pourquoi la conclusion de Klein, selon laquelle la théorie platonicienne des nombres eidétiques, de concepts dont l’unité est dans certains cas « numérique », ne peut pas, à proprement parler, faire sens pour le logos, pour le discours. De même, à cause de cette différence fondamentale entre ce qu’est un nombre et ce qu’est un concept, Klein conclut également que le concept mathématique général moderne (ou, ce qui revient au même, l’objet général) ne peut pas, de nouveau à proprement parler, être dit, de manière sensée, « numérique ».

13Bien sûr, la question concernant la manière dont Klein sait qu’il y a une différence fondamentale entre les nombres et les concepts de nombre, sans parler de celle concernant la manière dont il peut savoir qu’il y a un changement radical entre la signification du concept grec ancien de nombre et la signification moderne, nous renvoie au thème annoncé par mon titre. C’est le cas parce que ce que Klein sait au sujet de ces matières est probablement quelque chose que, tout comme ceux qui le suivent sur ce point, il pense être vrai. Cela veut dire que Klein doit savoir qu’il est vrai (1) que les nombres et les concepts de nombre, malgré leur relation, sont fondamentalement différents ; (2) que le concept grec de nombre et le concept moderne de nombre ont des significations différentes ; et (3) qu’à cause de (2) les significations grecque et moderne de la vérité philosophique et scientifique sont différentes. En d’autres termes, pour que Klein sache ce qu’il pense savoir, il doit savoir la vérité de quelque chose qui ne peut être vrai ni pour les «  Grecs » ni pour les « modernes », à savoir que la véritable signification de leurs concepts de nombre et de vérité est radicalement différente. Dans le cas des Grecs, ils n’ont pas, entre autres choses, vécu suffisamment longtemps pour découvrir la vérité ; dans le cas des modernes, ils en ont été empêchés parce qu’ils croyaient (et continuent de croire) que la supériorité de leurs concepts et de leur vérité sur ceux des anciens Grecs est une supériorité fondée sur le fait qu’ils compléteraient et perfectionneraient les concepts grecs et leur vérité.

14Mais je m’avance beaucoup trop ici. Avant de considérer la question de la signification et de la vérité dans les écrits de Klein, nous devons revenir au défi critique que représente le Math Book de Klein par rapport à l’interprétation heideggerienne de Platon et de la continuité de la dite signification métaphysique de l’être des étants dans l’histoire de la philosophie. Comme nous l’avons signalé, ce défi s’exprime par un désaccord avec l’hypothèse d’une préoccupation vis-à-vis des concepts en soi typique des modernes, hypothèse qui informe l’approche heideggerienne de la philosophie de Platon, et qui, par conséquent, doit avoir une importance considérable pour la signification et la vérité dans les écrits de Klein. L’approche heideggerienne de la philosophie de Platon suppose que la signification de l’être n’est pas questionnée par cette philosophie, mais pré-comprise — de façon non critique — en tant qu’eidos, « aspect » de quelque chose qui est présent à la connaissance et par conséquent disponible pour le logos, le discours. En outre, elle suppose que quelque chose demeure « complètement obscur » dans la directive dialectique de l’Étranger concernant les idées qui sont différentes les unes des autres, étant perçues comme enveloppées de l’extérieur par une idée une. A l’encontre de cette dernière supposition, le Math Book de Klein s’efforce de montrer qu’il y a dans le Sophiste, bien que de manière voilée, une articulation sur la manière dont des idées qui sont différentes peuvent néanmoins être enveloppées de l’extérieur par une idée une. Du fait de la nature du problème qu’aborde le Sophiste et auquel Klein se réfère comme étant le problème de la participation ontologique réciproque des idées, l’explication qui y est proposée ne peut pas, du point de vue de Klein, être « complètement claire ». Quoi qu’il en soit, Klein montre, contre Heidegger, non seulement qu’elle n’est pas « complètement obscure », mais aussi que la question de l’être n’est pas « une », mais « double ». Cela a les conséquences suivantes : (1) l’être pour Platon a une structure intelligible ; (2) la structure intelligible de l’être se laisse articuler en deux parties, bien qu’elle ne puisse pas, au sens strict, être connue, car le logos est incapable de rendre raison de ces parties d’une façon qui ne soit pas paradoxale ; et (3) à cause de la vérité de (2), il est manifestement erroné de penser, comme le fait Heidegger, que l’être chez Platon est quelque chose qui a ou est une « signification ». Et, une fois ce dernier point admis, la perte de la part de la philosophie de Platon, de la signification de l’être que Heidegger lui impute, puis la perte de cette perte de la signification de la part de l’histoire de la philosophie, deviennent apparente.

15Klein éclaire la manière voilée dont la structure intelligible de l’être est manifeste dans le Sophiste, en utilisant le compte rendu aristotélicien de la doctrine non écrite de Platon en prenant au sérieux ce qu’il rapporte tout en se détournant de leur polémique à l’encontre du contenu exposé. En outre, Klein replace l’exposé sur les nombres, dans les textes d’Aristote aussi bien que dans les dialogues de Platon, dans le contexte de sa « reconstruction » du phénomène du nombre, arithmos, qui, comme il le soutient, fournit la base des considérations théorétiques au sujet du mode d’être propre aux nombres qu’il découvre dans les mathématiques et la philosophie grecques anciennes. Enfin, la condition sine qua non de la reconstruction de Klein de l’arithmos grec ancien est que son mode d’être est non symbolique, c’est-à-dire qu’il n’est pas symbolique au sens où le concept de nombre et les nombres eux-mêmes appartenant à l’analyse mathématique moderne — c’est-à-dire à l’algèbre moderne — doivent être caractérisés comme symboliques.

  • 22 « Concept of Numbers », cit. p. 51.
  • 23 Math Book, cit. p. 54.

16Klein discerne la structure intelligible de l’être dans le Sophiste sur la base de ce qu’il désigne comme sa structure « arithmologique22 », une structure qui se rapporte à, mais n’est pas identique à, la structure de base propre à l’arithmos grec. Ce dernier, selon les termes de Klein, se « fonde dans le phénomène de la numération23 », et, selon lui, sa structure de base précède « toutes les différences possibles d’opinion » concernant le mode d’être du nombre dans les mathématiques et la philosophie grecques. Klein caractérise cette structure de base comme une « quantité définie de choses définies », et retient deux traits particuliers qui en relèvent. Ces deux traits particuliers ont une signification fondamentale, il faut le noter, pour l’interprétation kleinienne des « conceptualités », différentes caractéristiques de la science grecque et de la science moderne. Le premier concerne la référence à plus d’une chose — c’est-à-dire à une multitude qui est inséparable de chaque nombre. Le second concerne l’exactitude de cette référence : chaque arithmos délimite exactement tant de choses.

17Ces caractéristiques propres à la structure de l’arithmos sont fondamentales et sous-tendent par conséquent les différentes conceptions anciennes de son mode d’être, car, en dépit de leurs différences, toutes ces conceptions partagent le même présupposé, à savoir que chaque nombre est  à la fois un et multiple ; il est « multiple » dans la mesure où il se réfère à plus d’une chose ; il est « un », dans la mesure où chaque nombre est exactement une « unité » de la quantité en question. Rendre compte de la manière dont ce mode d’être propre aux nombres advient — non seulement la manière dont l’unité de chaque nombre est capable de se référer exactement à une multiplicité définie, mais aussi la manière dont chaque nombre différent est capable de délimiter une quantité différente de choses — était, selon Klein, l’affaire de l’arithmétique théorétique et de la logistique grecques anciennes. Il était significatif, pour lui, qu’aucune de ces sciences grecques n’ait eu comme objet des nombres, mais plutôt des eidê de nombres, et surtout l’« impair » et le « pair ».  Klein explique que la raison en est enracinée dans la structure de base des nombres eux-mêmes : les mathématiciens théorétiques invoquaient ces eidê dans leur tentative de rendre compte à la fois de la structure du un-au-dessus-de-plusieurs propre au nombre en général et des quantités différentes caractéristiques de l’unité de chaque nombre différent.

18Platon, du point de vue de Klein, ne pensait pas que les mathématiques de son temps, et, à vrai dire, de tous les temps, parviendraient ou pourraient jamais parvenir à expliquer la structure de base du un-au-dessus-de-plusieurs des nombres, ni les différenciations — correspondant aux différents nombres — des unités propres à l’être un de chaque différent nombre. La raison, selon Platon, en est simple : cela n’a pas le moindre sens pour le logos prédicatif de dire que quelque chose est à la fois un et multiple — que le multiple est un et l’un est multiple. La considération des nombres, par contraste avec le comptage et le calcul qui s’opèrent avec eux, excède les limites du logos, d’un discours qui soit intelligible, car « rendre compte » de ce qui est, c’est penser. Nonobstant cela, les considérations combinées du mathématicien et du philosophe, tous deux ensemble, sont capables de reconnaître dans les deux sortes d’unité caractéristiques du mode d’être des nombres (l’unité une-au-dessus-de-plusieurs en général et l’unité toute différente de quantités différentes, caractéristique de chaque nombre distinct) la chose suivante : le mode d’être d’une unité qui unit des choses séparées de manière à permettre qu’elles soient rassemblées, même si leur unité, en tant que tout, leur est « extérieure » ou « externe ». Et c’est justement le « commun » (koinon) de cette unité qui est susceptible d’être reconnu comme responsable de l’appartenance commune, de la « communauté » (koinonia) des choses mathématiques, dont le mode d’être consiste autrement à être séparées l’une de l’autre. Autrement dit, c’est la structure de cette unité, que Klein qualifie d’« arithmologique », qui détient la clé de la compréhension de la directive dialectique du Sophiste et donc la clé de la légitimation de l’affirmation par laquelle je prétends que toute la pensée de Klein peut être comprise à juste titre comme étant structurée par une critique fondamentale de Heidegger lorsqu’il conteste qu’une telle directive puisse être comprise.

19Qu’est-ce cela qui ne peut être reconnu que par le philosophe et le mathématicien théorétique, tous deuxensemble ? Le mathématicien théorétique reconnaît le mode particulier du un-au-dessus-de-plusieurs de l’être du nombre, dans lequel chaque nombre est composé de plusieurs choses, dont chacune n’est pas comptée en tant que la chose qu’elle est, mais en tant qu’« un » : n’importe quoi est susceptible d’être compté dès lors que les items véritablement comptés ne le sont qu’en tant qu’ils sont compris comme des uns identiques qui, étant multiples, indivisibles, sont, par conséquent, intelligibles. Le philosophe reconnaît qu’on ne peut rendre compte avec précision des deux unités enveloppées dans le mode d’être des nombres, au moyen des eidê de nombres auxquelles se réfère le mathématicien théorétique, à savoir, au moyen de l’« impair » et du « pair ». Le philosophe s’en rend compte parce que le mode d’être de l’unité de chacun de ces « concepts » est aussi un au-dessus du multiple, bien que d’une manière différente de celle des nombres. Chaque concept, l’ « impair », le « pair », est à chaque fois une unité — en tant que ce qui peut ou ne peut pas être divisé régulièrement — et une multiplicité, parce que ce qui peut ou ne peut pas être divisé régulièrement est non pas un, mais multiple. C’est pourquoi le philosophe reconnaît, par une telle considération, que la pensée du mathématicien théorétique mélange ce qui, si notre logos — notre discours — doit faire sens, ne peut pas se combiner : l’un et le multiple. Tous deux ensemble, cependant, le philosophe et le mathématicien peuvent reconnaître ce qu’aucun d’entre eux seul ne peut reconnaître : l’unité de chaque nombre est quelque chose qui est « extérieur » aux choses multiples et aux multiples uns qu’il unifie, en tant que quantité déterminée, précisément. L’unité de l’Étranger et de Théétète, en tant que deux interlocuteurs, est, en tant que tout, extérieure à chacun d’entre eux : ni l’Étranger, ni Théétète ne sont « deux », — puisque chacun est précisément non pas deux mais un — il n’en reste pas moins que tous deux ensemble sont exactement « deux ».

20Cette reconnaissance conjointe de la chose commune qui est responsable de l’appartenance commune ou de la communauté d’unités ou monades identiques dans un arithmos n’aborde cependant ni le problème de l’explication des multiples nombres différents, c’est-à-dire de ce qui fait qu’un nombre, disons « deux », diffère d’un autre, disons « trois », ni la directive de l’Étranger au sujet du dialecticien qui voit une idée enveloppant de l’« extérieur » plusieurs idées différentes. Elle n’aborde pas le premier, qui est « mathématique », parce que chacun des touts qui sont extérieurs aux unités ou monades, et ce qui, en tant que tel, représente la chose commune qui est responsable de l’appartenance commune des monades mathématiques, doit comprendre une « chose commune » différente à chaque fois qu’il s’agit d’un nombre différent — si l’on veut que le fait qu’il y ait plusieurs nombres différents soit abordé. Il n’aborde pas le second problème, qui est « philosophique », parce que les termes mêmes de l’Étranger stipulent que les idées multiples qui sont enveloppées par une idée une sont des idées différentes, tandis que les multiples monades enveloppées par un nombre sont la même.

21Ce qui aborde ces problèmes, mathématiques et philosophiques, en revanche, c’est la tentative avortée de l’Étranger et de Théétète dans le dénombrement des premières « trois » grandes idées parmi les plus grandes, à savoir, le Repos, le Mouvement et l’Être. Même si le Repos et le Mouvement sont opposés et, par conséquent, des idées manifestement différentes, ils sont enveloppés de l’ « extérieur » par l’idée de l’Être. Tous deux doivent être reconnus comme de l’Être, puisque ni le Repos ni le Mouvement ne peuvent eux-mêmes être reconnus comme de l’Être (si l’on supposait que soit le Repos, soit le Mouvement pouvaient être de l’Être, des choses impossibles en découleraient : pour que le Repos soit, il faudrait qu’il bouge ; pour que le Mouvement soit, il faudrait qu’il s’arrête.) L’idée de l’Être ne peut cependant pas être reconnue comme quelque chose de différent du Repos et du Mouvement, car ni le Repos ni le Mouvement ne seraient en ce cas. Aussi, la seule possibilité qui reste est de reconnaître que, tout comme ni l’Étranger ni Théétète ne sont « deux » pris isolément, mais seulement pris tous deux ensemble, de même, ni le Repos ni le Mouvement ne sont pris isolément de l’Être, mais il ne sont de l’Être que pris ensemble. Selon Klein, le Sophiste illustre ce qu’Aristote rapporte au sujet de la doctrine non écrite de Platon, à savoir, que les idées sont en quelque façon des nombres, et qu’il y a, outre les nombres mathématiques, des nombres eidétiques. De plus, le dialogue expose aussi la différence entre nombres mathématiques et nombres eidétiques, rapportée par Aristote : que les monades des premiers sont multiples et semblables, tandis que celles des derniers sont multiples et non semblables et ne sont donc pas comparables. Ainsi l’idée appartenant à l’Être, en tant que tout, est comme le tout appartenant à un nombre mathématique : elle enveloppe de l’ « extérieur » les multiples monades qu’elle rassemble en un tout ; cette idée et ce qu’elle rassemble ainsi sont aussi dissemblables à un nombre mathématique, car les monades intelligibles que le mathématicien rassemble en l’unité d’un nombre un sont identiques — tandis que les monades intelligibles que le nombre eidétique rassemble sont différentes. Cela trouve une illustration dans le Sophiste. Les idées relevant du Repos et du Mouvement sont différentes ; néanmoins, l’idea relevant de l’Être, comme le tout appartenant au nombre, présente une structure « arithmologique », même si, tout comme dans le cas du mode d’être de l’arithmos mathématique, le mode d’être de l’arithmos eidétique excède les limites posées par le logos. Dans le premier cas, comme nous avons vu, cela tient, selon Klein, à ce que le mode d’être, aussi bien des nombres mathématiques que de leurs concepts, mélange l’un et le multiple ; dans le dernier cas, cela tient à ce que la tentative pour rendre compte des « parties » de l’Être, à savoir des idées de Repos et de Mouvement prises séparément aussi bien que l’idée des deux prises ensemble, en donne « trois » — le Repos, « un », le Mouvement, « deux », et les deux ensemble, « trois » — alors qu’il n’y en a, en vérité, que « deux » : les idées de Repos et de Mouvement. Le nombre eidétique de l’idée d’Être est donc « deux », et non « trois ».

22Contre Heidegger, donc, le Math Book de Klein montre que l’Être n’est pas caractérisé par Platon comme idée de quelque chose qui est présent à la connaissance et par suite disponible pour le logos, et, en le montrant, il montre que la seconde directive dialectique de l’Étranger n’est pas complètement obscure. Seule la structure « arithmologique » de la communauté des idées, à savoir l’idée une enveloppant plusieurs idées de l’ « extérieur », peut fournir le « paradigme » de la structure du mode d’être de l’un au-dessus de plusieurs, propre aux nombres mathématiques, et non vice versa. En outre, seule la taxis, l’ordre des nombres éidétiques, à commencer par le « deux » eidétique, l’idée de l’Être, peut rendre compte de beaucoup de nombres mathématiques distincts, des différences dans l’unité de l’un au-dessus de plusieurs de chaque arithmos. De plus, seule la structure « arithmologique » de la communauté des idées peut rendre compte de multiples genê et eidê de ce qui a l’Être, et de l’analogia, de la proportion, au moyen de laquelle certains problèmes mathématiques et l’Être de certaines choses peuvent être compris. En d’autres termes, la « fondation » de l’Être des étants quantitatifs aussi bien que qualitatifs, des étants au moyen desquels on compte et calcule dans la pensée mathématique, et les étants rassemblés et divisés par la pensée dialectique,  est assurée par les arithmoi eidetikoi.

  • 24 Ibid., p. 99.

23Comme je l’ai déjà suggéré, du fait du caractère numérique assigné à une telle fondation, plus précisément l’assignation d’un être du type nombre à ses « concepts » eidétiques, Klein soutient que la « solution » du problème de l’un et du multiple qu’apporte cette théorie des nombres eidétiques est, selon ses mots, « achetée (…) au prix de la transgression des limites du logos24 ». Car non seulement le « mode courant de prédication, tel que : “le cheval est un animal”, “le chien est un animal”, etc. n’est plus intelligible », mais la signification « naturelle » du nombre, en tant que la quantité exacte d’une multiplicité de choses, « est désormais perdue » (le premier point résulte du fait que l’unité « arithmologique » est précisément quelque chose qui ne peut pas être prédiqué de ce qu’il unifie : ni les monades mathématiques dans un nombre arithmétique, ni les monades eidétiques dans un nombre eidétique ne peuvent être dites être le nombre en question, tandis qu’on peut dire d’un cheval ou d’un chien qu’ils sont tous deux un animal. Le second point résulte du fait qu’on ne peut pas compter les monades dans un nombre eidétique et qu’elles n’ont donc pas de quantum exact.) Si Klein a raison au sujet de la philosophie de Platon, ceci du moins est clair, à savoir que l’Être n’est ni un concept ni quelque chose qui puisse être connu et articulé « avec une clarté parfaite » par le logos ; ce qu’on peut énoncer à son sujet, c’est qu’il est inséparable de son opposé, et la « chose commune » — l’Être — partagée par chaque terme de l’opposition qui le caractérise est manifestement quelque chose qui n’a pas  ou n’exprime pas ce que les modernes appelleraient « signification ».

  • 25 Il se peut qu’il y ait une unique exception possible à cela, à savoir « ladite théorie générale d (...)

24La raison invoquée par Klein en faveur de ce dernier point figure également dans son Math Book, et peut être succinctement énoncée comme suit : la préoccupation des modernes pour la « signification » est, en fait, une préoccupation pour des « concepts » qui se réfèrent primitivement à d’autres concepts, et non, par conséquent, aux objets individuels auxquels tous les concepts se réfèrent originairement25. Les concepts qui fournissent leur fondement aux mathématiques symboliques modernes sont paradigmatiques des concepts dont le mode d’être fondamental consiste en leur relation à d’autres concepts, dont tous, à leur tour, dérivent ou encore dépendent du concept symbolique de nombre en général, quant à leur « signification » — un terme qu’il faut distinguer nettement de l’ « intelligibilité ». Les étants individuels sont « intelligibles » en tant qu’ils se meuvent ou sont au repos, à vrai dire, en tant qu’ils se meuvent sous un rapport tandis que simultanément ils sont au repos sous un autre. Les « aspects invisibles » (eidê) de repos et de mouvement sont eux aussi « intelligibles », bien que non en tant que choses individuelles qui sont au repos ou en mouvement, mais en tant que ce que toutes les choses individuelles qui sont en repos ou en mouvement ont « en commun ». Leur « communauté » est de la même façon intelligible, bien que, derechef, elle ne soit pas intelligible comme le sont les choses individuelles. Comme nous l’avons vu, étant donné que l’Être n’est pas un, mais double pour Platon, l’« intelligibilité », aussi bien des choses que de leur « aspect invisible », ne peut jamais être complète. Par rapport à cette « intelligibilité » incomplète, la « signification » du concept symbolique moderne de nombre en général est complètement « intelligible ». Ce concept ne se réfère ni à des étants individuels ni à ce qu’ils ont en commun, leur « aspect invisible » ; bien plutôt, le concept symbolique de nombre en général ne se réfère, à proprement parler, à rien, il est lui-même quelque chose à quoi on se réfère comme s’il s’agissait d’une chose, c’est-à-dire comme s’il s’agissait d’une chose individuelle tout comme les étants individuels sont, pour les anciens Grecs, intelligibles en tant que mobiles ou en repos. Mais il n’est pas un étant comme ces étants. Ce n’est pas du tout un étant, mais un chiffre sensible — une marque ou des marques —  qui n’est pas simplement traité comme une chose individuelle, mais qui, en un sens ontologique fondamental, remplace aussi toutes les choses individuelles, tous les étants individuels dans le monde par des « concepts » qui ne peuvent pas se référer à des choses ou des étants parce que le mode d’être de ces derniers est désormais pris, cela va de soi, comme étant « conceptuel ».

  • 26 Math book, op. cit. p 25.
  • 27 Ibidem.
  • 28 Ibidem.

25Le Math Book de Klein montre la capacité remarquable du concept symbolique de nombre à la fois à remplacer des étants individuels par des concepts et à le faire sans « déceler » le mode d’être, à la lettre, doublement « inintelligible » propre au symbole mathématique. D’un côté, il combine un concept entièrement indéterminé et non-perceptible — quantité en général — et une « marque » sensible complètement déterminée. Comme cette marque est indiscernable de ce avec quoi elle est combinée, du concept non perceptible ou de la quantité en général, elle n’est manifestement pas un signe, si par « signe » nous entendons une partie du langage qui indique quelque chose d’autre qu’elle-même d’une manière qui est indiscernable de la signification de ce qu’elle indique ; plutôt que de signifier quelque chose d’autre que soi-même, la marque se présente comme ce qui est symbolisé. Ainsi, « 2 » ne signifie pas quelque chose d’autre que soi, par exemple, la quantité exacte d’un certain type d’objet ; au lieu de cela, elle se présente elle-même comme le « concept de deux », ce qui veut dire « le concept général de dyade en général26 » — et elle le fait d’une manière telle qu’elle n’enveloppe absolument aucune référence immédiate aux moindres choses individuelles. Appeler, par conséquent, « 2 » un « signe de nombre » ou « a » un « signe de lettre » est une dénomination inadéquate, puisque dans les deux cas ce qui est signifié, c’est la « relation symbolique entre signe et ce qui est désigné27 ». Dans le cas de « 2 », ce qui est signifié, c’est « le caractère général de nombre de chacun et de tous les nombres ». D’un autre côté, le concept complètement indéterminé et non perceptible, dont la marque sensible est indiscernable, assume le statut de quelque chose qui peut être « traité » exactement comme ces autres choses sensibles, y compris être compté. De façon plus significative, le mode d’être quantitatif complètement indéterminé du concept, qui est inséparable du symbole mathématique, acquiert une détermination dans la mesure où, précisément, la marque sensible qui en est inséparable est traitée comme les autres choses sensibles, par exemple, des rochers, des tables, des exemplaires du Math Book de Klein, etc. Aussi Klein dit-il dans le cas du symbole « 2 » : « Le concept de dyade est en même temps compris comme se référant à deux entités28. »

26Ces deux caractéristiques propres au symbole mathématique ne révèlent leur complète « inintelligibilité » qu’en comparaison avec l’« intelligibilité » incomplète de l’arithmos grec. L’  « intelligibilité » incomplète du nombre grec comporte un mélange de (1) l’« intelligibilité » pour la « pensée » (dianoia) mathématique de la détermination exacte propre à la quantité d’une multiplicité définie d’étants sensibles ou pensables (et, en ce dernier sens, « intelligibles ») et (2) l’« inintelligibilité », pour l’« intelligence » (phronêsis) philosophique de son mode d’être un au-dessus de plusieurs. Par rapport à cela, et par contraste, l’ « inintelligibilité » complète du symbole mathématique concerne (1) son absence complète de référence immédiate à quoi que ce soit de défini et (2) la déterminité quasi chosale de sa marque sensible, qui présente le « concept » d’une quantité indéterminée à la manière d’un objet déterminé, et, par conséquent, présente une marque qui ne signifie rien et ne partage aucun « aspect » avec quoi que ce soit, comme quelque chose qui est néanmoins « intelligible ». En d’autres termes, Klein dit que l’ « irréalité symbolique » du symbole mathématique réside dans le fait qu’il présente comme quelque chose d’« intelligible » ce qui est intrinsèquement et complètement « inintelligible ».

27La complète « inintelligibilité » du symbole mathématique n’équivaut cependant pas, pour Klein, à une quelconque absurdité. Bien au contraire, le caractère de son mode d’être en tant qu’ « inintelligible » exige précisément son implication avec la « signification », à savoir, avec la signification qui lui advient sur la base de la « stipulation » de règles de manipulation de marques sensibles, autrement « inintelligibles », des règles dont la « syntaxe » dérive, originellement, des règles d’opération avec des nombres non symboliques. Les symboles mathématiques n’ont donc de sens que pour autant que leur mode d’être « purement » conceptuel se voie affecté d’une signification numérique qui est apparentée — en quelque façon — aux nombres non symboliques, à des quanta de choses qui, « en principe », peuvent être comptées.

  • 29 Ibid., p. 306, n. 324.

28Le Math Book de Klein, ainsi que ses leçons antérieures à 1940, emploie ce qu’il caractérise comme « le » langage de l’Ecole ou le discours de la langue scolastique des intentions premières et intentions secondes, ou, comme il le note lui-même29, la distinction la plus adéquatement énoncée entre les objets de premières intentions et les objets d’intentions secondes, pour « exprimer » l’état de choses ici en jeu. Il recourt à ce langage pour (1) décrire à la fois le passage de l’ancienne « signification » de nombre à la « signification » moderne et (2) retracer le changement correspondant dans le paradigme de l’ancienne « signification » et la « signification » moderne de ce dont il doit être le concept, ce dernier changement étant caractérisé par Klein (vraisemblablement avant 1940) comme la transformation de la « conceptualité » de l’ancien concept (les guillemets autour du mot « signification » attirent ici l’attention sur le fait que, en termes stricts, pour Klein, le terme de « signification », convenant exclusivement au concept moderne, risque donc non seulement d’induire en erreur, mais même de fausser la comparaison et l’opposition des statuts respectifs des concepts grecs anciens et modernes.) Les intentions premières concernent l’existence et la quiddité d’un objet, son être par lui-même ; les intentions secondes concernent un objet dans la mesure où il a un être en tant qu’il est connu, dans une appréhension. Ainsi, le mode d’être d’un objet dans la connaissance est second, tandis que le mode d’être d’un objet en lui-même est premier. Étant donné que l’arithmos grec est inséparable de la référence directe à une multiplicité de choses définies, le statut de sa référence ne peut être désigné que comme primo-intentionnel [first intentional]. Étant donné que le concept d’une « quantité indéterminée ou générale » concerne un objet, pour autant qu’il soit connu, le statut de sa référence ne peut être désigné que comme secundo-intentionnel [second intentional]. En outre, la marque sensible qui appartient au nombre symbolique moderne est, comme n’importe quelle autre chose sensible, l’objet d’une intention première, et pour cette raison, Klein soutient que la « conceptualité » caractéristique du mode d’être propre au concept moderne de nombre équivaut à l’appréhension de l’objet d’une intention seconde comme s’il avait l’être d’un objet d’une intention première. Il soutient, en outre, que la « conceptualité » moderne du nombre n’est manifeste que par son contraste avec la « conceptualité » ancienne, qui se caractérise par le statut primo-intentionnel des objets auxquels elle se réfère et auxquels par conséquent elle est apparentée.

  • 30 Ibid., p. 208.

29Klein invoque également la distinction entre intentions premières et intentions secondes en vue de clarifier la tentative cartésienne de comprendre l’origine du nouveau mode d’être propre au concept symbolique de nombre, une tentative dont Klein soutient qu’elle est la première et la dernière de ce type dans la tradition philosophique. La tentative cartésienne invoque le pouvoir de l’imagination au service du pur intellect, en lui rendant visible, en tant que symbole, l’objet indéterminé qu’il a préalablement abstrait de son propre pouvoir de connaître des nombres déterminés. L’abstraction présuppose chez Aristote des étants définis qui soient intelligibles en termes de qualités communes, le dernier étant se « détache » du précédent selon un procès qui est davantage logique que psychologique ; l’abstraction chez Descartes présuppose des étants qui soient définis mais non pas intelligibles, en l’occurrence « intelligibles » en tant qu’étants en telle quantité. Bien plutôt, l’abstraction cartésienne opère sur l’acte par lequel l’esprit connaît une multiplicité d’unités, en isolant la conception même de cette multiplicité par l’esprit, qu’elle rend immédiatement objective. L’esprit se retourne et réfléchit sur sa propre connaissance au moment où elle est dirigée sur l’idée de nombre en tant que multiplicité d’unités, et, ce faisant, elle n’appréhende plus la multiplicité d’unités directement, dans l’« acte exercé » (actus exercitus) et ce en tant qu’objet de son intention première, mais plutôt indirectement, dans l’« acte signifié » (actus signatus), en tant qu’objet de son intention seconde. Ainsi, nonobstant le fait que ce qui est conçu par l’intellect soit une multiplicité d’unités, l’appréhension immédiate par l’intellect de son propre acte de conception comme d’une chose, comme un et par conséquent comme étant, a pour effet de transformer la multiplicité propre au nombre en une entité apparemment indépendante, bien que l’être en question ne soit que celui d’un « être rationnel » (ens rationis). Je répète : cet « être rationnel » est le résultat de l’intellect, qui, secondairement (dans la réflexion) intentionne une chose déjà conçue préalablement, et l’intentionne dans la mesure où elle a été conçue. Lorsqu’un être rationnel se trouve ainsi « saisi à l’aide de l’imagination de telle sorte que l’intellect puisse, à son tour, l’appréhender comme un objet sur le mode d’une ‘première intention’, nous avons affaire à un symbole30 ».

  • 31 C’est en effet pour cette raison que Descartes, selon Klein, insiste sur le « pouvoir » de l’imag (...)

30L’abstraction cartésienne se caractérise selon Klein comme « symbolique », pour cette raison que le « concept » qu’elle produit n’est manifestement pas quelque chose qui est prélevé sur les qualités intelligibles des choses, mais plutôt quelque chose dont le mode propre d’être est inséparable de ce qui suit : (1) l’intellect pur — par « pur » on veut dire complètement séparé des choses qu’il appréhende — saisissant son propre pouvoir d’appréhension de ces qualités elles-mêmes, et (2) ce pouvoir lui-même étant appréhendé comme un objet dont le mode d’être est néanmoins apparenté aux choses elles-mêmes dont son mode d’être se sépare. Klein souligne que cette « parenté » entre le pouvoir d’appréhension propre au « pur » intellect et ce qui lui est effectivement étranger (c’est-à-dire les choses possédant les qualités intelligibles qui sont appréhendées par le pouvoir du « pur » intellect) est établie en rendant ce pouvoir « visible ». Ce qui produit un tel résultat, ce sont les « signes » de lettres algébriques de Viète ou les figures « géométriques » de Descartes. Ils sont ce qui — dans le langage de l’école — permet à l’objet d’une intention seconde d’être appréhendé comme l’objet d’une intention première, et sont par conséquent des « symboles ». L’objet indéterminé ou général produit dans une « abstraction symbolique » n’est ni purement un concept ni purement un « signe », mais justement l’inimaginable et inintelligible identification de l’objet d’une intention seconde avec celui d’une intention première. Cette identification est « inimaginable » parce que les « images » se réfèrent proprement — à la fois pour les anciens Grecs et pour Descartes — soit à des objets particuliers des intentions premières soit à leurs « qualités communes » particulières31. L’identification entre objets secundo et primo intentionnels est « inintelligible » parce que pour la prédication « naturelle », dire qu’un concept est « en même temps » général et particulier est absurde.

  • 32 « Rationalisme Moderne », op. cit. p. 61.
  • 33 Ibidem.

31Nulle part, que je sache, Klein n’écrit que cette identification, qui rend possible le langage « symbolique » de l’algèbre et par suite, de la physique mathématique, est une erreur mathématique. De même, nulle part, que je sache, Klein n’écrit que la science que la mathématique symbolique rend possible est une erreur philosophique. En outre, pour autant que je puisse dire, Klein n’a jamais ne serait-ce que suggéré, dans ses écrits, que l’identification des objets des intentions premières et secondes signifiait que les intentions premières et les intentions secondes avaient été « confondues » par la science moderne, comme certains l’ont insinué. Ce que Klein caractérise bel et bien explicitement comme une erreur est la conception du langage symbolique de l’algèbre comme « une matière purement technique ou instrumentale32 ». Il écrit : « C’est une erreur commune que de croire que nous pouvons traduire les théorèmes de la physique mathématique dans le langage ordinaire, comme si l’appareil mathématique utilisé par les physiciens n’était qu’un instrument employé pour exprimer plus facilement leurs théorèmes33. » Il écrit également que les « philosophes naturalistes » du début de l’époque moderne, dans l’auto-interprétation de leur nouvelle science, la « véritable » physique, la comprenaient comme le perfectionnement et le parachèvement de la science des anciens. Et à l’évidence, le Math Book de Klein est un « argument » dont le but est de réfuter la véracité à cette auto-interprétation, et de le faire d’abord en se fondant sur les différences de « conceptualités » caractérisant respectivement l’incomplète intelligibilité du concept ancien de nombre et la complète inintelligibilité propre à la signification du concept moderne de nombre symbolique. Cela étant dit, il ne s’ensuit pas, à mes yeux, que cet argument s’étende aussi à la nouvelle science elle-même, c’est-à-dire qu’il n’aille jusqu’à prétendre que la connaissance symbolique rendue possible par la « conception » propre au concept de nombre symbolique est quelque chose qui serait en quelque façon faux ou moins vrai que l’ancien concept de nombre et l’ancienne « science » en général. La science moderne, la physique mathématique, et la connaissance symbolique qui en est la nervure principale, n’est donc pas, du point de vue de Klein, une erreur.

32Ce qui en revanche est une erreur pour Klein, c’est l’interprétation de l’objet (singulier) « vrai » de cette science comme des objets (pluriels) des intentions premières qui étaient et restent, de fait, les « véritables » objets de l’ancienne science grecque. La nature de cette erreur n’est ni « mathématique », ni, à proprement parler, « scientifique », mais philosophique. C’est une erreur qui a été commise par les inventeurs de la physique mathématique, à l’aube des temps modernes, et c’est une erreur qui est encore commise de nos jours par leurs innombrables rejetons, philosophes aussi bien que non-philosophes. C’est une erreur commise par Husserl, qui, malgré lui et malgré la tentative, présente dans ses derniers écrits, de restaurer l’intégrité de la connaissance menacée par la tendance omniprésente de la « sédimentation », de l’oubli des significations originales de nos mots et de nos concepts, ne put se départir de sa croyance au caractère « purement » instrumental du calcul symbolique. Husserl assimile la « technicité » supposée du calcul symbolique aux « règles du jeu » qui le régissent mécaniquement, règles qui proviennent originellement des catégories et des objets « donnés » dans l’expérience qui rend notre langage et la logique « traditionnelle » aristotélicienne à la fois possibles et intelligibles.

33Klein devait connaître l’erreur de Husserl. Et c’est pourquoi, sans aucun doute, le nom de Husserl n’est pas mentionné une seule fois dans la version originale de son Math Book, et pourquoi le concept d’« intentionnalité » auquel Klein recours dans ce livre ainsi que dans ses écrits et ses leçons antérieurs à 1940 est celui de l’École, et non celui de Husserl. La raison en peut être trouvée dans l’explication kleinienne du caractère symbolique de l’indétermination ou généralité du concept moderne de nombre. Bien que Husserl fût aussi conscient de cette indétermination — et en effet, avant Klein, Husserl était conscient de cela plus qu’aucun autre penseur du vingtième siècle, l’appelant le concept du « quelque chose quelconque » (Etwas überhaupt) et assignant à son investigation une science nouvelle, qu’il nommait « ontologie formelle » — il pensait que son « intentionnalité » pouvait être distinguée des marques sensibles qui rendent manifeste le symbole mathématique. Ceci, comme nous l’avons vu, est pour Klein tout simplement impossible, parce que, en l’absence de telles marques, les purs concepts des mathématiques modernes seraient, littéralement, invisibles et par conséquent inaccessibles au « pur intellect » qui calcule avec elles dans une connaissance symbolique. En outre, une telle distinction intentionnelle entre « signes » symboliques et objets indéterminés auxquels ils se rapportent symboliquement (et par conséquent non « significativement ») occulte la caractéristique la plus importante de l’objet général que cette relation symbolique rend possible, à savoir l’étrange impossibilité de sa « signification » conceptuelle de ne se référer jamais directement aux choses ou aux objets individuels dans le monde. Husserl, bien sûr, a passé le plus clair de son temps à essayer de montrer à la fois que et comment la signification du « concept » de « quelque chose en général » est « objective », et en un sens si précis que l’origine de son unité (aussi bien que l’origine de tous les modes possibles d’être et de relations) s’enracine ultimement dans les « phénomènes » des objets individuels et l’« évidence » de leur individualité présentée dans l’expérience perceptive que nous en faisons. Klein de même a passé le plus clair de son temps à essayer de montrer que c’est une erreur philosophique que de penser que la signification d’un « concept en général » puisse jamais être reconduite à une origine qui se trouve dans les objets individuels et leur expérience perceptive.

34La « raison » pour laquelle Klein tente d’établir une telle impossibilité peut être découverte dans son explication de l’« abstraction symbolique » à l’œuvre dans l’exposé cartésien du processus par lequel l’esprit se représente lui-même ses purs concepts — c’est cela qui fait que de tels concepts sont des « concepts » auxquels Klein se réfère comme à leur « conceptualité » moderne. Comme nous l’avons vu, Klein caractérise la « conceptualité » moderne, par comparaison, en termes de complète « inintelligibilité » de la signification propre aux concepts généraux qu’elle rend possible, une inintelligibilité qui émerge au moment où cette « signification » est comparée à l’intelligibilité incomplète de la « conceptualité » des concepts grecs anciens. En un mot, du point de vue de Klein, la « conceptualité » à laquelle est imputable l’énoncé cartésien de ce qu’est un « concept » (Begriff) n’est pas seulement paradigmatique de tous les concepts modernes, mais est également la source de la difficulté de la modernité à procurer un « fondement » à la connaissance, à la fois à établir et fournir une explication de la liaison entre les concepts généraux et leurs « objets ». Mais comme cette liaison est secundo-intentionnelle dans le cas du concept d’un objet en général, la tentative husserlienne pour fournir le fondement recherché en faisant appel à l’« intuition », à l’intuition de la relation entre l’objet de l’intention seconde et l’objet de l’intention première, est dans le principe condamnée à échouer. Il n’en va pas ainsi pour la simple raison que le statut de la relation entre objets secundo-intentionnels, qui ne sont manifestement pas des objets primo-intentionnels — nonobstant le fait qu’en tant que tels, ils fassent l’objet de méprises de la part de la philosophie — et les objets primo-intentionnels eux-mêmes n’est pas d’ordre perceptif, mais symbolique.

35La raison pour laquelle Klein se démarque de l’explication phénoménologique husserlienne de la « signification » est donc aussi bien philosophique qu’historique ; ou plutôt, cela présuppose un mode d’attention qui n’est ni l’un ni l’autre, mais « les deux à la fois ». En effet, seule la présupposition d’un tel mode d’attention est susceptible de justifier la distinction radicale qu’il fait entre les « significations » respectives de la « conceptualité » ancienne et moderne, laquelle distinction annule, à proprement parler, l’omni-temporalité — ou, ce qui revient au même, l’omni-historicité — du concept même de « signification » et assigne au concept de vérité un lieu historique — un lieu qui est relatif selon qu’il est proche de la « conceptualité » grecque ancienne ou de la « conceptualité » moderne. En outre, seule la présupposition d’un tel mode d’attention est susceptible de rendre compte du statut du point stratégique depuis lequel Klein effectue la comparaison entre la science et la philosophie antiques et la science et la philosophie modernes, un point stratégique dont les vues portent effectivement sur les choseselles-mêmes qui font l’objet de la comparaison.

  • 34 Lewis Edwin Hahn (éd.), The Philosophy of Hans-Georg Gadamer, Chicago and La Salle, Open Court, 199 (...)
  • 35 Platon, Ménon, 75 c-d.

36Tout d’abord, je ne prétends pas être en position de décider (philosophiquement, mathématiquement, historiquement ou autrement) si le mode d’attention présupposé par l’explication kleinienne de ces sujets est injustifié. En fait, à la différence de Hans-Georg Gadamer, qui se plaignait que Klein tout comme Leo Strauss « employassent, dans leurs travaux, un style qui est trop celui d’un commentaire, si bien que leur voix se perd34 », je trouve la « transparence » herméneutique des écrits de Klein stimulante pour la pensée d’une manière qui rend triviales les revendications de l’« herméneutique philosophique » concernant le caractère historiquement déterminé de notre compréhension. Les écrits de Klein ne présentent pas seulement ce qui, à mon avis, demeure encore maintenant, quelques trois quarts de siècle après la publication de son Math Book, comme l’échantillon probablement le plus important de notre compréhension « historiquement conditionnée », « dans » l’histoire ; ils montrent aussi que l’ « histoire », dans laquelle ils se trouvent, n’est nulle autre que l’historia dont le Socrate de Platon parle dans le Phédon. « Historia » y désigne un problème qui ne regarde ni une série contingente d’événements ou de théories philosophiques, ni le « concept » ou la « signification » de l’ « histoire » comme telle, mais plutôt le problème de l’enquête elle-même. Le mode d’attention présupposé par les distinctions philosophico-mathématico-historiques que proposent les écrits de Klein en ce qui concerne la signification et la vérité fait signe, à mes yeux, en direction de la rencontre de l’auteur avec l’ « enquête » (historia) comme de quelque chose qui s’avance comme un problème partout où surgissent des questions sur l’origine de ce qui fait l’objet de discussion, quel qu’il soit. Quant à la question de savoir si les enquêtes du Math Book de Klein et de ses autres écrits sont « vraies », je pense que la meilleure réponse serait quelque chose comme ceci : Klein a dit ce qu’il pensait être vrai des sujets sur lesquels portaient ses enquêtes. Quant à savoir si ce qu’il a dit est « correct », c’est là une question qu’il ne faut pas poser à leur auteur et aux concepts et significations présumés qui gouvernent sa « philosophie », mais à ces enquêtes elles-mêmes. Si Klein n’a pas parlé correctement, c’est alors notre « tâche que de reprendre l’argument et de le réfuter35 ».

37Cela étant dit, j’aimerais terminer par une suggestion et une question. La suggestion : la réticence bien connue de Klein à discuter, sous quelque rapport que ce soit, les présuppositions de sa propre pensée, pourrait bien s’enraciner dans son refus poli de l’invitation leibnizienne de « le suivre [scil. Leibniz, NdT] — dans l’anti-chambre de Dieu », et de se joindre à lui, après d’autres immortels philosophes, « sur un petit banc aux pieds de Dieu ». La question : le passage de l’ancienne conceptualité grecque des nombres à la nouvelle, qui, comme l’a montré Klein, vaut pour les nombres cardinaux, s’étend-elle aussi aux ordinaux ? Plus précisément, y a-t-il un lieu historique propre de la vérité de la « primitivité » des objets primo-intentionnels et de la « secondarité » des objets secundo-intentionnels par laquelle Klein exprime le basculement décisif de la conscience ancienne à la conscience moderne ?

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Notes

1 Jacob Klein et Leo Strauss «  A Giving of Accounts : Jacob Klein et Leo Strauss », The College, avril 1970, p. 1-5, en l’occurrence p. 1 [Cité ci-dessous comme « Accounts », NdT].

2 Jacob Klein, « Speech, Its Strength and Its Weaknesses », dans Id., Lectures and Essays, Annapolis, St. John’s College Press, 1985, p. 361-374, cf. notamment p. 370-371 [Cité ci-dessous comme « Discours », tandis que le volume sera cité comme Essays, NdT].

3 Jacob Klein, « Modern Rationalism », in Essays, p. 53-64, en l’occurrence p. 64 [Cité ci-dessous comme « Rationalisme moderne »].

4 Ibidem.

5 Bien qu’il le situe [parfois] à une période antérieure, par exemple, lorsqu’il affirme en 1970 que cela s’est produit « il y a près de 500 ans » (cf. « Comptes », op. cit. p. 1).  

6 Jacob Klein, Platos Trilogy, Chicago, University of Chicago Press, 1977, p. 2 [Cité ci-dessous comme Trilogie, NdT].

7 Jacob Klein, Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra, trad. angl. par E. Brann, Cambridge, Mass., M.I.T. Press, 1969, reprint, New York, Dover, 1992. Cet ouvrage a été initialement publié en allemand sous le titre de « Die griechische Logistik und die Entstehung der Algebra », in Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Division B, Studien, vol. 3, n°. I, Berlin, 1934, p. 18-105, (pour la Partie I) ; n°. 2, 1936, p. 122-235, (pour la partie II). [Cité ci-dessous comme Math Book, NdT].

8 Jacob Klein, « The Concept of Number in Greek Mathematics and Philosophy », in Essays, op. cit. p. 43-52, en l’occurrence p. 43. [Cité ci-dessous comme « Concept de nombre », NdT].

9 Math Book, op. cit. p. 9.

10 « Rationalisme Moderne », op. cit. p. 63.

11 « Discours », op. cit. p. 374. Il le cite nommément dans « Comptes », qui est, cependant, la transcription d’un enregistrement

12 Jacob Klein, « Aristotle, an Introduction », in Essays, op. cit. p. 171-195, en l’occurrence p. 171.

13 « Comptes »,  op. cit. p. 3.

14 Martin Heidegger, Plato’s Sophist, tr. angl. par R. Rojcewicz et A. Schuwer, Bloomington, Indiana University Press, 1997, p. 365. [Traduction française parue depuis, Platon : le Sophiste, trad. fr. par J-F. Courtine, P. David,  D. Pradelle, et Ph. Quesne, Paris, Gallimard, 2001, p. 398, NdT].

15 Ibid.

16 Ibid, p. 366.

17 Ibidem.

18 Les travaux de K. Kaiser, J. N. Findlay et H.J. Krämer sur la « doctrine non écrite » de Platon, en dépit de leur diversité, partagent les caractéristiques suivantes : 1) ils ne parviennent pas à reconnaître la priorité de l’œuvre de Klein sur le sujet qui est le leur, et 2) ils abordent les « mathématiques » et les « nombres eidétiques » de Platon depuis un point de vue conceptuel extérieur. Voir, respectivement : Platos Ungeschriebene Lehre, Stuttgart, E. Klett, 1963; Plato : The Written and Unwritten Doctrines, London, Routledge & Kegan Paul, 1974 ; et Plato and the Foundations of Metaphysics, tr. angl. par J. Catan, Albany, State University of New York Press, 1990.

19 Math Book, op. cit. p. 62 (je souligne).

20 Ibidem.

21 Ibid., p. 184.

22 « Concept of Numbers », cit. p. 51.

23 Math Book, cit. p. 54.

24 Ibid., p. 99.

25 Il se peut qu’il y ait une unique exception possible à cela, à savoir « ladite théorie générale des proportions » (Jacob Klein, « The World of Physics and the “Natural” World », in Essays, op. cit. p. 1-34, en l’occurrence p. 27 [cité comme « Monde de la Physique », NdT]) d’Euclide, bien que Klein ne semble pas parvenir à décider si cette « théorie » représente un cas où les anciens concepts se réfèrent originellement à d’autres concepts et non à des objets individuels. Il écrit, en 1932, que « le cinquième livre d’Euclide contient, de fait, une “algèbre géométrique” » (Ibid.), qui a, selon lui, ceci de caractéristique qu’il ne traite pas des « rapports de grandeurs particulières, des figures géométriques, par exemple, ou de nombres ou de masses corporelles ou de segments de temps, mais des rapports ‘en eux-mêmes’, dont les porteurs totalement indéterminés sont symbolisés (symbolisch () versinnbildlicht) par des lignes droites » (Ibid.). En d’autres termes, il semble caractériser ici un objet indéterminé ou général censé correspondre à la procédure générale d’Euclide, et, par conséquent, un objet non-individuel en tant que « référent » des « concepts » de cette procédure. Cependant, dans son Math Book, qui, je suppose, a été écrit plus tard (il fut publié en 1934-1936), cette possibilité est justement écartée par Klein, lorsqu’il écrit, « pour la science antique, l’existence d’un ‘objet’ général n’est en aucune façon une conséquence de la “théorie générale” » (Math Book, p. 161) et il poursuit par une mention du point de vue d’Aristote sur cette question (in Métaphysique, M 3, 1077 b  17-20), qu’il considère comme définitif : « Les propositions générales des mathématiques [à savoir les “axiomes”, c’est-à-dire les “notions communes”, mais aussi les théorèmes de la théorie eudoxienne des proportions] ne portent pas sur des choses séparées qui existeraient en dehors ou parallèlement aux grandeurs [géométriques] et aux nombres, mais portent uniquement sur ceux-ci : mais non pas, cependant, en tant qu’ils ont une grandeur ou sont divisibles [en unités discrètes] » (Ibid.). C’est en me fondant sur ce point de vue apparemment tardif de Klein que je dis ici « tous ».

26 Math book, op. cit. p 25.

27 Ibidem.

28 Ibidem.

29 Ibid., p. 306, n. 324.

30 Ibid., p. 208.

31 C’est en effet pour cette raison que Descartes, selon Klein, insiste sur le « pouvoir » de l’imagination et non sur les « images » de l’imagination, comme étant au service de l’intellect pur lorsqu’il saisit les concepts complètement indéterminés qu’il a séparés des idées que l’imagination lui offre, parce que ces idées sont précisément des « images déterminées » — et donc intrinsèquement inadéquates pour représenter à l’intellect ses concepts indéterminés. Le pouvoir de l’imagination, cependant, étant indéterminé pour autant qu’il n’est limité à aucune de ses images particulières, est capable d’utiliser de sa propre indéterminité pour entrer au « service » du pur intellect et rendre visible une « représentation symbolique » de ce qui autrement lui demeure invisible, en facilitant, pour ainsi dire, l’identification des objets des intentions premières avec ceux des intentions secondes dans le mode d’être particulier du symbole. La facilitation de l’imagination impliquant, pour ainsi dire, qu’elle confère son « pouvoir » de visibilité à l’invisibilité du concept.  

32 « Rationalisme Moderne », op. cit. p. 61.

33 Ibidem.

34 Lewis Edwin Hahn (éd.), The Philosophy of Hans-Georg Gadamer, Chicago and La Salle, Open Court, 1997, p. 236.

35 Platon, Ménon, 75 c-d.

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Pour citer cet article

Référence électronique

Burt C. Hopkins, « Signification et vérité dans les écrits philosophico-mathématiques de Jacob Klein », Methodos [En ligne], 9 | 2009, mis en ligne le 25 février 2009, consulté le 21 août 2017. URL : http://methodos.revues.org/2170 ; DOI : 10.4000/methodos.2170

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Auteur

Burt C. Hopkins

Seattle University

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