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Comptes rendus

Compte-rendu de : Marco Panza, Nombres : éléments de mathématiques pour philosophes

Cahiers d’histoire et de philosophie des sciences, SFHST, ENS Editions, 2007
Jean Celeyrette

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Texte intégral

1Le titre de l’ouvrage présenté par Marco Panza, historien et philosophe des mathématiques très connu, est modeste. Il peut laisser croire qu’on a affaire à un des nombreux manuels  présentant élémentairement les constructions successives des entiers naturels, des entiers relatifs, des rationnels et des réels telles qu’elles sont exposées en terminale scientifique. Mais cette modestie n’est que dans le titre, car dès la lecture de la préface on voit que l’ambition de l’auteur est toute autre. Certes il nous dit qu’il est parti de ses notes de cours de mathématiques pour philosophes effectués de 1993 à 2002 à l’université de Nantes, mais il est très évident que ces notes n’ont constitué qu’un point de départ pour une entreprise beaucoup plus vaste.

2Abordant de front la difficulté principale de tout enseignement « sur » les mathématiques M. Panza énonce courageusement son refus d’un exposé qui en se bornant à commenter quelques résultats dits significatifs ferait l’impasse sur la technicité des raisonnements. Il expose son programme de la façon suivante : « dévoiler la raison d’être de quelques théories mathématiques élémentaires, mettre à jour leur organisation interne, et montrer à l’œuvre les modalités argumentatives qui fonctionnent dans ces théories sans aucun souci d’éviter une technicité nécessaire », les théories présentées résultant d’un choix de l’auteur, dont il dit lui-même qu’il est pour une part arbitraire. Il énonce ensuite deux convictions qui, dit-il, ne sont pas partagées par la totalité de ses collègues mathématiciens ou historiens et philosophes des mathématiques, et qui l’ont guidé dans la rédaction de son ouvrage :

31) les mathématiques sont une activité humaine qui se déroule au cours du temps. L’élaboration d’une théorie loin d’être un dévoilement comme le pense nombre de mathématiciens, est une constitution, par un ou des auteurs ayant leurs raisons ou buts propres ; lorsqu’elle est constituée la théorie obéit à une logique interne, indépendante de ses origines, ce qui rend possible des découvertes à l’intérieur d’elle. Si bien que pour comprendre le rôle des théories dans l’ensemble de l’édifice de la connaissance la connaissance de leur logique interne est insuffisante, une explicitation des buts auxquels la constitution de la théorie était censée répondre, des problèmes qu’elle était censée résoudre etc., est indispensable. C’est là l’originalité de ce que se propose l’auteur et ce que montre la présentation du livre, car il adjoint à chaque résultat, dans le texte et en caractère différent, des remarques à caractère le plus souvent logique ou épistémologique et des notes historiques qui fournissent les éclairages souhaités et donnent des indications bibliographiques. Ces notes et remarques forment une part très importante de l’ouvrage.

42) L’activité mathématique est essentiellement la constitution de systèmes d’objets, et ces objets sont des formes qui figurent dans les phénomènes qui nous entourent, formes que le rôle du mathématicien est d’isoler puis de manipuler et d’étudier. Le processus est le suivant: on dispose d’un domaine d’objets préalables (de niveau 1) qu’on décide de penser comme des représentations d’autres objets (de niveau 2) ; on définit alors une relation d’équivalence entre les objets de niveau 1 par laquelle deux objets distincts équivalents sont posés comme des représentations du même objet de niveau 2, ce qui permet d’obtenir une définition des objets de niveau 2 comme classes d’équivalence de l’ensemble donné.

5Le rapporteur qui partage totalement la première de ces deux convictions, est en revanche plus réservé sur la seconde, qui, certes, est complètement adaptée aux constructions des ensembles numériques qui sont l’objet de l’ouvrage, mais dont le caractère de généralité pour l’ensemble des activités mathématiques lui paraît plus discutable.

6L’ouvrage est partagé en six chapitres.

7Le chapitre 1 expose une théorie empirique des entiers naturels inspirée de celle que présente Frege dans Grundlagen der Arithmetik, qui est discutée dans les notes de façon approfondie. Chaque étape de la construction proposée est commentée de façon détaillée, toutes ses difficultés mises en évidence, et les solutions données justifiées.

8Le chapitre 2 donne alors la théorie axiomatique des mêmes entiers développée par Peano. Le contexte historique, celui de la « crise des fondements », les travaux de Dedekind, Peirce et autres sont largement évoqués.

9Dans le chapitre 3, le mode de démonstration par récurrence résultant de l’axiome 5 de Peano est mis en oeuvre pour le calcul de quelques sommes remarquables d’entiers. Cela donne lieu à des notes historiques approfondies sur l’analyse et la synthèse des mathématiques grecques à Descartes puis Newton, sur la certitude en mathématiques et en philosophie d’après Kant, sur les nombres premiers, les nombres figurés plans et solides etc.

10Dans le chapitre 4, les rationnels sont construits classiquement à partir des rationnels positifs, eux-mêmes construits à partir des entiers naturels. Cette dernière construction est motivée par la question de la mesure. La note historique initiale part de la notion de quantité, à propos de laquelle une référence aux travaux médiévaux aurait été utile. Les notes suivantes présentent et comparent la proportionnalité entre les nombres telle qu’elle est exposée dans le livre VII des Eléments d’Euclide et la proportionnalité entre les grandeurs du livre V. La fin du chapitre est consacrée à la dénombrabilité de l’ensemble des rationnels, établie d’abord par la démonstration classique, puis par l’argument de Cantor utilisant l’intermédiaire des nombres algébriques.

11Les structures algébriques élémentaires, groupes, anneaux, corps, sont introduites dans le chapitre 5. La différence de formulation logique entre, l’existence d’un élément neutre par exemple, et pour tout élément l’existence d’un inverse, est l’occasion de mettre en évidence l’erreur célèbre de Cauchy qui croyait avoir démontré que toute limite d’une série de fonctions continues est une fonction continue. Sont ensuite évoqués les travaux d’Abel et de Galois sur les équations algébriques, ceux de Klein sur les groupes de transformation. Pour terminer, la « « philosophie » qui a présidé à l’élaboration du monumental traité de Bourbaki est exposée dans une longue note.

12Le chapitre 6 consacré aux réels est sans doute le plus riche. Le point de départ est le livre I des Eléments dans lequel l’auteur souligne le caractère crucial pour la problématique du chapitre du théorème de Pythagore; l’ « insuffisance » des rationnels résulte du fait qu’aucun d’entre eux ne peut avoir un carré égal à 2. Or la démonstration de cette dernière proposition repose a priori sur le principe du tiers exclu, refusé, comme on le sait, par des mathématiciens comme Brouwer ; l’auteur présente alors dans une longue note ces mathématiques intuitionnistes. Sont ensuite abordés les problèmes posés par les séries infinies pour lesquels les références historiques sont toutes postérieures au XVIIe siècle, et on peut regretter qu’aucune allusion n’y ait été faite à la « démonstration » de la divergence de la série harmonique ou à la somme de la série géométrique au XIVe siècle latin. La correspondance entre les réels et la droite continue amène à une discussion, par Peirce notamment, du concept d’ensemble. Suit alors la construction formelle des réels à partir des rationnels, dans lesquelles les méthodes de Cantor (par les suites de Cauchy), et de Dedekind (par les coupures) sont comparées et mises en perspective. L’ouvrage se termine par des questions de cardinalité, plus précisément par la démonstration de Cantor de la non dénombrabilité du continu.

13Conclusion : L’ouvrage tel qu’il est présenté témoigne évidemment d’une réflexion approfondie sur les mathématiques et sur sa place dans la connaissance scientifique. Cette réflexion s’appuie sur une  culture très solide tant en mathématiques qu’en épistémologie, en logique ou en histoire des mathématiques. Les polémiques classiques sur la nature du formalisme, le logicisme, la nature des objets mathématiques etc. sont mentionnées mais l’auteur se refuse à prendre parti, en quoi, de l’avis du rapporteur il a parfaitement raison. Celui-ci toutefois n’adhère pas totalement avec la vision très « constructive » des mathématiques que donne l’ouvrage ; à son avis le bricolage mathématique, sur l’infini, les rapports irrationnels ou les équations différentielles par exemple, aurait pu avoir une place plus importante. Toutefois le rapporteur tient à dire qu’il n’exprime là aucun reproche, mais note une simple divergence d’appréciation entre spécialistes.

14Marco Panza nous procure ici un ouvrage extrêmement riche et documenté, certes parfois un peu touffu, mais c’est là une contre partie presque inévitable de sa richesse, par ailleurs il faut reconnaître que dans chaque chapitre la ligne directrice est toujours clairement apparente.

15Si bien que l’ouvrage, comme on l’a dit, beaucoup plus qu’un livre de cours est un livre de référence pour les enseignants de mathématiques, et, comme le dit la quatrième de couverture, pour tous ceux qui s’intéressent à l’histoire et à la philosophie des mathématiques.

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Pour citer cet article

Référence électronique

Jean Celeyrette, « Compte-rendu de : Marco Panza, Nombres : éléments de mathématiques pour philosophes », Methodos [En ligne], 8 | 2008, mis en ligne le 11 avril 2008, consulté le 24 mars 2017. URL : http://methodos.revues.org/1813

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